Solve for l: A = lwDespeja l: A = lw
A function is a rule that converts an input into exactly one output. One input can never produce two different outputs — but two different inputs are allowed to share the same output.Una función es una regla que convierte una entrada en exactamente una salida. Una entrada nunca puede producir dos salidas diferentes — pero dos entradas diferentes sí pueden compartir la misma salida.
| Rule: "multiply the input by 2, then subtract 1"Regla: «multiplica la entrada por 2 y luego resta 1» | y = 2x − 1 |
| Input 3 → Output 5Entrada 3 → Salida 5 | 2(3) − 1 = 5 |
| Output 17 → what input?Salida 17 → ¿qué entrada? | 2x − 1 = 17 → x = 9 (finding the input is just solving an equation)2x − 1 = 17 → x = 9 (hallar la entrada es simplemente resolver una ecuación) |
A function is a machine with one rule: each input gets exactly one output. Two different inputs may share an output (that's fine) — but one input can never give two different answers. To test a list of points, only look at the x-values: any repeat x with different y's breaks it.Una función es una máquina con una sola regla: cada entrada recibe exactamente una salida. Dos entradas diferentes pueden compartir una salida (eso está bien) — pero una entrada nunca puede dar dos respuestas distintas. Para probar una lista de puntos, mira solo los valores de x: cualquier x repetida con y diferentes la rompe.
| Is {(2,5), (3,5), (4,5)} a function?¿Es {(2,5), (3,5), (4,5)} una función? | Yes — the x's (2, 3, 4) are all different. Sharing the output 5 doesn't break the rule.Sí — las x (2, 3, 4) son todas diferentes. Compartir la salida 5 no rompe la regla. |
| Is {(1,3), (2,7), (1,9)} a function?¿Es {(1,3), (2,7), (1,9)} una función? | No — input 1 gives both 3 and 9. One input, two outputs = not a function.No — la entrada 1 da tanto 3 como 9. Una entrada, dos salidas = no es función. |
Given the rule "multiply by 2 then subtract 1," find the input that gives an output of 21.Dada la regla «multiplica por 2 y luego resta 1», halla la entrada que da una salida de 21.
f(x) does not mean multiplication. It means "the output of function f when the input is x." y = f(x): output = rule(input).f(x) no significa multiplicación. Significa «la salida de la función f cuando la entrada es x». y = f(x): salida = regla(entrada).
| f(x) = x/3 + 7 | Starting functionFunción inicial |
| f(6) = 6/3 + 7 = 9 | Evaluate at input 6Evalúa con la entrada 6 |
| f(x) = 13 → x = 18 | Set the rule equal to 13 and solve for x, same as any equationIguala la regla a 13 y despeja x, como en cualquier ecuación |
f(x) does not mean 'f times x' — it's the machine's name and its input slot. f(3) means 'run 3 through machine f.' Wherever you see x in the rule, drop the input in with parentheses. The parentheses matter most with negatives and exponents.f(x) no significa «f por x» — es el nombre de la máquina y su ranura de entrada. f(3) significa «pasa 3 por la máquina f». Donde veas x en la regla, coloca la entrada con paréntesis. Los paréntesis importan más con negativos y exponentes.
| f(x) = x² − 4x. Find f(−3).f(x) = x² − 4x. Halla f(−3). | (−3)² − 4(−3) = 9 + 12 = 21. Parentheses protect the negative: (−3)² = 9, not −9.(−3)² − 4(−3) = 9 + 12 = 21. Los paréntesis protegen el negativo: (−3)² = 9, no −9. |
| g(x) = 5x + 2. Solve g(x) = 27.g(x) = 5x + 2. Resuelve g(x) = 27. | This asks for the input: 5x + 2 = 27 → x = 5. Reading direction reversed — output known, input unknown.Esto pide la entrada: 5x + 2 = 27 → x = 5. Dirección de lectura invertida — salida conocida, entrada desconocida. |
f(x) = x/3 + 7. Find f(−9).f(x) = x/3 + 7. Halla f(−9).
Build a table of (x, y) pairs from the rule, then plot each pair as a point.Construye una tabla de pares (x, y) a partir de la regla, y luego grafica cada par como un punto.
| g(x) = 2x + 3 | x = −3 → y = −3 | x = 0 → y = 3 | x = 3 → y = 9 |
| Points: (−3,−3), (0,3), (3,9) | Plot and connect — since this rule is linear, connect with a straight lineGrafica y conecta — como esta regla es lineal, conecta con una línea recta |
The graph of a function is just every (input, output) pair drawn as a picture. To read f(2) from a graph: find x = 2 on the horizontal axis, ride straight up (or down) to the curve, then read across for the height. The vertical line test works because a vertical line at some x hitting the curve twice means one input with two outputs.La gráfica de una función es simplemente cada par (entrada, salida) dibujado como imagen. Para leer f(2) en una gráfica: encuentra x = 2 en el eje horizontal, sube (o baja) en línea recta hasta la curva, y lee la altura. La prueba de la línea vertical funciona porque una línea vertical que toca la curva dos veces significa una entrada con dos salidas.
| Graph shows the point (4, −1) on y = f(x). What is f(4)?La gráfica muestra el punto (4, −1) en y = f(x). ¿Cuánto es f(4)? | f(4) = −1. The point (a, b) on a graph always translates to f(a) = b.f(4) = −1. El punto (a, b) en una gráfica siempre se traduce a f(a) = b. |
| If f(0) = 3, what point is on the graph?Si f(0) = 3, ¿qué punto está en la gráfica? | (0, 3) — the y-intercept. Inputs live on the x-axis, outputs on the y-axis.(0, 3) — el intercepto en y. Las entradas viven en el eje x, las salidas en el eje y. |
Build a table for f(x) = x² at x = −2, 0, 2 and describe the shape you'd expect.Construye una tabla para f(x) = x² con x = −2, 0, 2 y describe la forma que esperarías.
| A graph rises from (−5,−1) up to (−1,7), then falls to (2,2)Una gráfica sube de (−5,−1) hasta (−1,7), y luego baja a (2,2) | Increasing on −5≤x≤−1; (−1,7) is a turning point classified as a relative maximumCreciente en −5≤x≤−1; (−1,7) es un punto de giro clasificado como un máximo relativo |
Graph features are just vocabulary for landmarks: zeros/x-intercepts are where the curve touches the x-axis (output = 0), the y-intercept is where it crosses the vertical axis (input = 0), and increasing/decreasing describes whether the curve climbs or falls as you read left to right — always left to right, like reading a sentence.Las características gráficas son solo vocabulario para puntos de referencia: los ceros/interceptos en x son donde la curva toca el eje x (salida = 0), el intercepto en y es donde cruza el eje vertical (entrada = 0), y creciente/decreciente describe si la curva sube o baja al leerla de izquierda a derecha — siempre de izquierda a derecha, como leer una oración.
| f(x) = (x−1)(x+5). Find the zeros.f(x) = (x−1)(x+5). Halla los ceros. | Set each factor to 0: x = 1 and x = −5. Zeros are the inputs that make the output zero.Iguala cada factor a 0: x = 1 y x = −5. Los ceros son las entradas que hacen la salida cero. |
| Where is y = x² decreasing?¿Dónde es decreciente y = x²? | For x < 0. Reading left to right, the parabola falls until the vertex at x = 0, then climbs.Para x < 0. Leyendo de izquierda a derecha, la parábola baja hasta el vértice en x = 0 y luego sube. |
By hand: for f(x) = (1/2)x + 2, find f(0) and f(8).A mano: para f(x) = (1/2)x + 2, halla f(0) y f(8).
This is the calculator authorized for this course. Menu wording is nearly identical across TI-Nspire CX II / CX II CAS OS versions — if a label differs slightly on your unit, look for the closest match.Esta es la calculadora autorizada para este curso. Los nombres de los menús son casi idénticos entre las versiones de TI-Nspire CX II / CX II CAS — si una etiqueta difiere un poco en tu unidad, busca la opción más parecida.
The calculator draws the same picture you would, just faster. The workflow never changes: enter the function, set a window big enough to see the interesting parts, then use the analyze/trace tools to read exact landmarks instead of eyeballing them.La calculadora dibuja la misma imagen que tú harías, solo que más rápido. El procedimiento nunca cambia: ingresa la función, ajusta una ventana lo bastante grande para ver las partes interesantes, y usa las herramientas de análisis/rastreo para leer puntos exactos en lugar de estimarlos a ojo.
| The graph vanishes off the top of the screen.La gráfica desaparece por la parte superior de la pantalla. | The window is too small — increase Ymax. A missing graph usually means a window problem, not an equation problem.La ventana es demasiado pequeña — aumenta Ymax. Una gráfica que no se ve normalmente es un problema de ventana, no de ecuación. |
| Find where y = x² − 5 crosses y = 4 on the calculator.Halla dónde y = x² − 5 cruza y = 4 en la calculadora. | Graph both, then use the Intersection tool: x = ±3. The calculator confirms what algebra predicts: x² = 9.Grafica ambas y usa la herramienta de Intersección: x = ±3. La calculadora confirma lo que el álgebra predice: x² = 9. |
Find the slope of the line through (2, 5) and (6, 17).Halla la pendiente de la recta que pasa por (2, 5) y (6, 17).
Average rate of change measures how much the output changes compared to how much the input changes. It answers "how fast" — and it's calculated exactly like slope.La tasa de cambio promedio mide cuánto cambia la salida en comparación con cuánto cambia la entrada. Responde «qué tan rápido» — y se calcula exactamente igual que la pendiente.
| average rate of change = [f(b) − f(a)] / (b − a)tasa de cambio promedio = [f(b) − f(a)] / (b − a) | Change in output over change in input — same formula as slope between two points on the graphCambio en la salida entre cambio en la entrada — la misma fórmula que la pendiente entre dos puntos de la gráfica |
Find the average rate of change of f(x) = x² + 1 from x = 1 to x = 4.Halla la tasa de cambio promedio de f(x) = x² + 1 de x = 1 a x = 4.
| f(1) = 1² + 1 = 2 f(4) = 4² + 1 = 17 | Evaluate the function at both endpoints firstPrimero evalúa la función en ambos extremos |
| [f(4) − f(1)] / (4 − 1) = 15/3 = 5 | Change in output over change in inputCambio en la salida entre cambio en la entrada |
In real situations, the rate of change carries units — dollars per week, feet per second, points per minute. A negative rate means the quantity is decreasing.En situaciones reales, la tasa de cambio lleva unidades — dólares por semana, pies por segundo, puntos por minuto. Una tasa negativa significa que la cantidad está disminuyendo.
| A tank has 80 gal at t=0 and 32 gal at t=6 minutesUn tanque tiene 80 gal en t=0 y 32 gal en t=6 minutos | (32 − 80)/(6 − 0) = −8 gallons per minute — draining(32 − 80)/(6 − 0) = −8 galones por minuto — se está vaciando |
Average rate of change is just slope between two chosen points on any curve: (change in output) ÷ (change in input). Even on a curvy graph, you're drawing one straight line through the two endpoints and asking how steep it is.La tasa de cambio promedio es simplemente la pendiente entre dos puntos elegidos de cualquier curva: (cambio en la salida) ÷ (cambio en la entrada). Aun en una gráfica curva, estás trazando una sola línea recta entre los dos extremos y preguntando qué tan inclinada es.
| f(x) = x² + 1 from x = 0 to x = 3f(x) = x² + 1 de x = 0 a x = 3 | (f(3) − f(0)) / (3 − 0) = (10 − 1)/3 = 3. The curve wobbles, but the endpoints define one slope.(f(3) − f(0)) / (3 − 0) = (10 − 1)/3 = 3. La curva ondula, pero los extremos definen una sola pendiente. |
| A plant grows from 4 in to 16 in between week 2 and week 6.Una planta crece de 4 pulg a 16 pulg entre la semana 2 y la semana 6. | (16 − 4)/(6 − 2) = 3 inches per week, on average — even if growth wasn't steady.(16 − 4)/(6 − 2) = 3 pulgadas por semana, en promedio — aunque el crecimiento no fuera constante. |
For f(x) = 2x − 5, find f(3) and find x when f(x) = 9.Para f(x) = 2x − 5, halla f(3) y halla x cuando f(x) = 9.
Domain: the complete set of inputs the function can accept. Range: the complete set of outputs the function can produce. If a graph doesn't extend to a certain x-value, that x-value is not in the domain.Dominio: el conjunto completo de entradas que la función puede aceptar. Rango: el conjunto completo de salidas que la función puede producir. Si una gráfica no llega a cierto valor de x, ese valor no está en el dominio.
| A graph exists only from x = −4 to x = 6Una gráfica existe solo de x = −4 a x = 6 | Domain: −4 ≤ x ≤ 6, written [−4, 6]. Asking for f(10) is meaningless — 10 isn't in the domain.Dominio: −4 ≤ x ≤ 6, escrito [−4, 6]. Pedir f(10) no tiene sentido — 10 no está en el dominio. |
Domain is read left-to-right along the x-axis (how far left and right the graph reaches). Range is read bottom-to-top along the y-axis (how far down and up it reaches).El dominio se lee de izquierda a derecha a lo largo del eje x (qué tan lejos llega la gráfica a la izquierda y a la derecha). El rango se lee de abajo hacia arriba a lo largo del eje y (qué tan abajo y arriba llega).
| A graph runs from (−3, −2) up to (2, 8), with no breaksUna gráfica va de (−3, −2) hasta (2, 8), sin interrupciones | Domain: [−3, 2] Range: [−2, 8]Dominio: [−3, 2] Rango: [−2, 8] |
For a set of ordered pairs, the domain is just the list of all first coordinates (inputs), and the range is the list of all second coordinates (outputs) — each value listed only once.Para un conjunto de pares ordenados, el dominio es simplemente la lista de todas las primeras coordenadas (entradas), y el rango es la lista de todas las segundas coordenadas (salidas) — cada valor se escribe una sola vez.
| Points: (−2, 5), (0, 5), (3, 9) | Domain: {−2, 0, 3} Range: {5, 9} — repeated outputs are listed only onceDominio: {−2, 0, 3} Rango: {5, 9} — las salidas repetidas se escriben una sola vez |
Domain = every input the machine accepts; range = every output it can produce. Two red flags shrink a domain: dividing by zero and square roots of negatives. On a graph, domain is the graph's shadow on the x-axis; range is its shadow on the y-axis.Dominio = todas las entradas que la máquina acepta; rango = todas las salidas que puede producir. Dos señales de alerta reducen un dominio: dividir entre cero y raíces cuadradas de negativos. En una gráfica, el dominio es la sombra de la gráfica sobre el eje x; el rango es su sombra sobre el eje y.
| Find the domain of f(x) = √(5 − x).Halla el dominio de f(x) = √(5 − x). | Need 5 − x ≥ 0 → x ≤ 5. Inputs above 5 would put a negative under the root.Se necesita 5 − x ≥ 0 → x ≤ 5. Entradas mayores que 5 pondrían un negativo bajo la raíz. |
| Find the range of f(x) = x² + 2.Halla el rango de f(x) = x² + 2. | x² is never negative, so outputs start at 2: range y ≥ 2.x² nunca es negativo, así que las salidas empiezan en 2: rango y ≥ 2. |
These problems pull from earlier units on purpose. Switching between skills feels harder in the moment, but it helps you remember longer and matches how a real exam mixes topics. Try each one on paper first, then reveal.Estos problemas provienen de unidades anteriores a propósito. Cambiar de una destreza a otra se siente más difícil en el momento, pero te ayuda a recordar por más tiempo y se parece a cómo un examen real mezcla los temas. Intenta cada uno en papel primero, luego revela la respuesta.