Write 3,842 as a sum of multiples of powers of 10.Escribe 3,842 como una suma de múltiplos de potencias de 10.
Our number system counts powers of 10. Replace the base 10 with a variable x, and place value becomes a polynomial: 63,735 = 6(10⁴)+3(10³)+7(10²)+3(10)+5 → 6x⁴+3x³+7x²+3x+5 when x = 10.Nuestro sistema numérico cuenta potencias de 10. Reemplaza la base 10 con una variable x, y el valor posicional se convierte en un polinomio: 63,735 = 6(10⁴)+3(10³)+7(10²)+3(10)+5 → 6x⁴+3x³+7x²+3x+5 cuando x = 10.
| 21,478 = 2(10⁴)+1(10³)+4(10²)+7(10)+8 | Break any whole number into powers of 10 firstPrimero descompón cualquier número entero en potencias de 10 |
A polynomial has the form axⁿ + bxⁿ⁻¹ + cxⁿ⁻² + ... + constant, where every exponent is a non-negative integer. A variable in a denominator (like 1/x) or a variable exponent (like 2ˣ) breaks the rule.Un polinomio tiene la forma axⁿ + bxⁿ⁻¹ + cxⁿ⁻² + ... + constante, donde cada exponente es un entero no negativo. Una variable en un denominador (como 1/x) o un exponente variable (como 2ˣ) rompe la regla.
| 9x² + 2x − 1/x | NOT a polynomial — 1/x is equivalent to x⁻¹, and −1 is not a non-negative exponentNO es un polinomio — 1/x es equivalente a x⁻¹, y −1 no es un exponente no negativo |
| 2x² + 5x³ − x + 8 | IS a polynomial — every exponent (2, 3, 1, 0) is a non-negative integerSÍ es un polinomio — cada exponente (2, 3, 1, 0) es un entero no negativo |
| 3x² + 5x³ + 7 − 8x | Reorder by descending exponent: 5x³ + 3x² − 8x + 7Reordena por exponente descendente: 5x³ + 3x² − 8x + 7 |
Just like adding 523 + 271 combines hundreds with hundreds and tens with tens, adding polynomials combines matching powers of x with each other.Así como sumar 523 + 271 combina centenas con centenas y decenas con decenas, sumar polinomios combina las potencias iguales de x entre sí.
| (4x² + 9x + 3) + (7x² − 5x + 4) | Combine x²-terms, x-terms, and constants separatelyCombina los términos de x², los términos de x y las constantes por separado |
| = 11x² + 4x + 7 | 4+7=11, 9−5=4, 3+4=7 |
Adding polynomials is sorting and combining like terms — x²-terms with x²-terms, x-terms with x-terms, numbers with numbers. Subtracting has one extra move: distribute the minus sign to every term in the second polynomial first, then combine. Most errors are a missed sign on the second or third term.Sumar polinomios es clasificar y combinar términos semejantes — términos de x² con términos de x², términos de x con términos de x, números con números. Restar tiene un paso extra: distribuye el signo menos a cada término del segundo polinomio primero, y luego combina. La mayoría de los errores son un signo perdido en el segundo o tercer término.
| (4x² + x − 6) + (x² − 3x + 2)(4x² + x − 6) + (x² − 3x + 2) | = 5x² − 2x − 4. Three separate bins, combined.= 5x² − 2x − 4. Tres cajones separados, combinados. |
| (6x² − 2x) − (x² − 5x + 3)(6x² − 2x) − (x² − 5x + 3) | Flip all three signs: 6x² − 2x − x² + 5x − 3 = 5x² + 3x − 3.Cambia los tres signos: 6x² − 2x − x² + 5x − 3 = 5x² + 3x − 3. |
Add: (4x² − 3x + 8) + (7x² + 5x − 4)Suma: (4x² − 3x + 8) + (7x² + 5x − 4)
Multiply the coefficients, then add the exponents of matching bases — the same exponent rule from Unit 6.Multiplica los coeficientes y luego suma los exponentes de las bases iguales — la misma regla de exponentes de la Unidad 6.
| 5x³ · 2x² | = (5·2)(x³⁺²) = 10x⁵ |
| 2x²y³(2xy − 5x) | Distribute 2x²y³ to each termDistribuye 2x²y³ a cada término |
| = 4x³y⁴ − 10x³y³ | Multiply coefficients, add exponents on each matching baseMultiplica los coeficientes y suma los exponentes de cada base igual |
| (x + 1)(x + 3) | x(x+3) + 1(x+3) = x²+3x+x+3 |
| = x² + 4x + 3 | Combine the like terms 3x + xCombina los términos semejantes 3x + x |
| (2x + 5)² | (2x+5)(2x+5) = 4x²+10x+10x+25 |
| = 4x² + 20x + 25 | Combine the middle termsCombina los términos del medio |
| x(x² + 4x + 3) − 2(x² + 4x + 3) | = x³+4x²+3x − 2x²−8x−6 |
| = x³ + 2x² − 5x − 6 | Combine like terms across both distributed piecesCombina los términos semejantes de ambas partes distribuidas |
Multiplying polynomials = every term in the first shakes hands with every term in the second (distribution, twice). For binomials that's four products; then combine the two middle terms. Stay organized and the sign errors disappear.Multiplicar polinomios = cada término del primero le da la mano a cada término del segundo (distribución, dos veces). Para binomios son cuatro productos; luego combina los dos términos del medio. Mantén el orden y los errores de signo desaparecen.
| (x + 4)(x + 6)(x + 4)(x + 6) | x² + 6x + 4x + 24 = x² + 10x + 24. Four handshakes, middle pair combines.x² + 6x + 4x + 24 = x² + 10x + 24. Cuatro apretones de mano, el par del medio se combina. |
| (3x − 2)(x + 5)(3x − 2)(x + 5) | 3x² + 15x − 2x − 10 = 3x² + 13x − 10.3x² + 15x − 2x − 10 = 3x² + 13x − 10. |
Multiply: 3x(2x + 5)Multiplica: 3x(2x + 5)
Factor (verb): rewrite an expression as an equivalent product. Factor (noun): one of the pieces being multiplied. Factoring is simply running the distributive property backward.Factorizar (verbo): reescribir una expresión como un producto equivalente. Factor (sustantivo): una de las piezas que se multiplican. Factorizar es simplemente aplicar la propiedad distributiva al revés.
| 6x² + 15x | GCF of 6x² and 15x is 3xEl MCD de 6x² y 15x es 3x |
| = 3x(2x + 5) | Divide each term by the GCF to find what's left inside the parenthesesDivide cada término entre el MCD para hallar lo que queda dentro del paréntesis |
| 24x³, 16x², 8x | GCF of the numbers: 8. GCF of the variables: x (smallest power present)MCD de los números: 8. MCD de las variables: x (la potencia más pequeña presente) |
| GCF = 8x | 24x³−16x²+8x factors as 8x(3x²−2x+1)24x³−16x²+8x se factoriza como 8x(3x²−2x+1) |
Since factoring produces an equivalent expression, the original and the factored form must evaluate to the same number for any x — a quick way to check your work.Como factorizar produce una expresión equivalente, la forma original y la factorizada deben evaluar al mismo número para cualquier x — una manera rápida de verificar tu trabajo.
| 6x² − 15x at x = 2 | 6(4) − 15(2) = 24 − 30 = −6 |
| 3x(2x − 5) at x = 2 | 3(2)(4−5) = 6(−1) = −6 — matches ✓ |
Factoring out the GCF is un-distributing: find the biggest number and the most x's that divide every term, pull that out front, and write what's left of each term inside parentheses. Check by re-distributing — it should rebuild the original exactly.Factorizar el MCD es des-distribuir: halla el número más grande y la mayor cantidad de x que dividan cada término, sácalo al frente, y escribe lo que queda de cada término dentro del paréntesis. Verifica redistribuyendo — debe reconstruir el original exactamente.
| Factor: 15x⁴ − 10x²Factoriza: 15x⁴ − 10x² | GCF = 5x² → 5x²(3x² − 2). Redistribute to verify.MCD = 5x² → 5x²(3x² − 2). Redistribuye para verificar. |
| Factor: 7x² + 7Factoriza: 7x² + 7 | 7(x² + 1). Even when only a number is shared, pull it out — leaving the invisible '1' behind: 7·1 = 7.7(x² + 1). Aun cuando solo se comparte un número, sácalo — dejando el «1» invisible: 7·1 = 7. |
Factor completely: 12x² + 18xFactoriza por completo: 12x² + 18x
A conjugate pair is (a + b)(a − b). Multiplying it out, the middle terms always cancel: (a+b)(a−b) = a² − b². This means ANY difference of two perfect squares can be factored instantly, without guess-and-check.Un par conjugado es (a + b)(a − b). Al multiplicarlo, los términos del medio siempre se cancelan: (a+b)(a−b) = a² − b². Esto significa que CUALQUIER diferencia de dos cuadrados perfectos puede factorizarse al instante, sin prueba y error.
| (x + 6)(x − 6) | = x² − 6x + 6x − 36 = x² − 36 — the middle terms cancel= x² − 6x + 6x − 36 = x² − 36 — los términos del medio se cancelan |
| x² − 81 | √x² = x, √81 = 9 → (x + 9)(x − 9) |
| 9x² − 4 | √9x² = 3x, √4 = 2 → (3x + 2)(3x − 2) |
| 25 − y² | √25 = 5, √y² = y → (5 + y)(5 − y) |
| 2x² − 18 | GCF 2 first: 2(x² − 9) = 2(x + 3)(x − 3)Primero el MCD 2: 2(x² − 9) = 2(x + 3)(x − 3) |
A difference of two squares splits into conjugates: a² − b² = (a − b)(a + b). It works because the middle terms cancel when you multiply conjugates. Checklist: exactly two terms, subtraction, both perfect squares. A sum of squares does not factor.Una diferencia de dos cuadrados se divide en conjugados: a² − b² = (a − b)(a + b). Funciona porque los términos del medio se cancelan al multiplicar conjugados. Lista de verificación: exactamente dos términos, resta, ambos cuadrados perfectos. Una suma de cuadrados no se factoriza.
| Factor: 9x² − 25Factoriza: 9x² − 25 | (3x − 5)(3x + 5) — both 9x² and 25 are squares, joined by minus.(3x − 5)(3x + 5) — tanto 9x² como 25 son cuadrados, unidos por un menos. |
| Factor: x⁴ − 81Factoriza: x⁴ − 81 | (x² − 9)(x² + 9) → the first factor splits again: (x − 3)(x + 3)(x² + 9).(x² − 9)(x² + 9) → el primer factor se divide otra vez: (x − 3)(x + 3)(x² + 9). |
Factor: x² − 36Factoriza: x² − 36
There's no shortcut formula for factoring a general trinomial — the reliable method is guess-and-check. Treat it like a puzzle: make a smart guess, multiply back out to check, and adjust.No hay una fórmula rápida para factorizar un trinomio general — el método confiable es prueba y error. Trátalo como un rompecabezas: haz un intento inteligente, multiplica de regreso para verificar y ajusta.
| 2x² + 13x + 20 | Both signs positive, so both binomials use "+"Ambos signos positivos, así que ambos binomios usan «+» |
| Guess: (2x + 1)(x + 20) | Check: 1x + 40x = 41x — wrong, too bigVerifica: 1x + 40x = 41x — incorrecto, demasiado grande |
| Guess: (2x + 5)(x + 4) | Check: 5x + 8x = 13x — CORRECTVerifica: 5x + 8x = 13x — CORRECTO |
| x² + 8x + 15 | Factor pairs of 15: 1&15, 3&5Pares de factores de 15: 1&15, 3&5 |
| (x + 3)(x + 5) | 3 + 5 = 8 ✓ |
| x² + 3x − 10 | Constant negative → signs opposite. Need factors of 10 that differ by 3: 2 and 5Constante negativa → signos opuestos. Se necesitan factores de 10 que difieran en 3: 2 y 5 |
| (x + 5)(x − 2) | 5 − 2 = 3 ✓, and 5 is the larger, matching the positive middle term5 − 2 = 3 ✓, y 5 es el mayor, lo que coincide con el término del medio positivo |
Factoring x² + bx + c is a number hunt: two numbers that multiply to c and add to b. Signs tell you where to look: c positive → the pair shares the sign of b; c negative → one positive, one negative, and b tells you which one is bigger.Factorizar x² + bx + c es una búsqueda de números: dos números que multipliquen a c y sumen b. Los signos te dicen dónde buscar: c positiva → el par comparte el signo de b; c negativa → uno positivo y uno negativo, y b te dice cuál es más grande.
| Factor: x² + 9x + 20Factoriza: x² + 9x + 20 | Multiply to 20, add to 9: 4 and 5 → (x + 4)(x + 5).Multiplican a 20, suman 9: 4 y 5 → (x + 4)(x + 5). |
| Factor: x² − 3x − 28Factoriza: x² − 3x − 28 | Multiply to −28, add to −3: −7 and 4 → (x − 7)(x + 4).Multiplican a −28, suman −3: −7 y 4 → (x − 7)(x + 4). |
Factor: x² + 8x + 15Factoriza: x² + 8x + 15
Before guess-and-check, pull out any GCF shared by all three terms. This shrinks the numbers you're guessing with and makes the trinomial factor much faster.Antes de prueba y error, extrae cualquier MCD compartido por los tres términos. Esto reduce los números con los que pruebas y hace que el trinomio se factorice mucho más rápido.
| 4x² + 20x + 24 | GCF = 4 → 4(x² + 5x + 6) |
| 4(x + 2)(x + 3) | Factor the smaller trinomial, keep the 4 out frontFactoriza el trinomio más pequeño y mantén el 4 al frente |
| 54x² − 24 | GCF = 6 → 6(9x² − 4) |
| 6(3x + 2)(3x − 2) | 9x² − 4 is a difference of squares9x² − 4 es una diferencia de cuadrados |
| 2x² + 11x + 12 | No GCF in the original, so skip any guess where a binomial has oneNo hay MCD en el original, así que descarta cualquier intento donde un binomio tenga uno |
| (2x + 3)(x + 4) | 3x + 8x = 11x ✓, and neither binomial has a common factor3x + 8x = 11x ✓, y ningún binomio tiene un factor común |
When the leading coefficient isn't 1 (like 2x² + 7x + 3), use the AC method: multiply a·c, find two numbers that multiply to that and add to b, split the middle term with them, then factor by grouping. Always check first whether a GCF comes out — it makes everything smaller.Cuando el coeficiente principal no es 1 (como 2x² + 7x + 3), usa el método AC: multiplica a·c, halla dos números que multipliquen a eso y sumen b, divide el término del medio con ellos, y luego factoriza por agrupación. Siempre revisa primero si sale un MCD — hace todo más pequeño.
| Factor: 2x² + 7x + 3Factoriza: 2x² + 7x + 3 | a·c = 6; numbers 6 and 1 → 2x² + 6x + x + 3 → 2x(x+3) + 1(x+3) = (2x+1)(x+3).a·c = 6; números 6 y 1 → 2x² + 6x + x + 3 → 2x(x+3) + 1(x+3) = (2x+1)(x+3). |
| Factor: 6x² − 3x − 45Factoriza: 6x² − 3x − 45 | GCF 3 first: 3(2x² − x − 15) → 3(2x + 5)(x − 3).MCD 3 primero: 3(2x² − x − 15) → 3(2x + 5)(x − 3). |
Multiply: (x + 8)(x + 2)Multiplica: (x + 8)(x + 2)
A rectangle's area is length × width. If you split each side into pieces, the total area is the sum of each smaller rectangle's area — this is exactly what the distributive property does symbolically.El área de un rectángulo es largo × ancho. Si divides cada lado en piezas, el área total es la suma del área de cada rectángulo más pequeño — esto es exactamente lo que hace la propiedad distributiva de forma simbólica.
| Rectangle 23 ft by 12 ft | Split 23 = 20+3, 12 = 10+2: pieces are 200, 30, 40, 6 → sum = 276 ft²Divide 23 = 20+3, 12 = 10+2: las piezas son 200, 30, 40, 6 → suma = 276 pies² |
| (2x + 3)(x + 2) | Top: 2x, 3. Side: x, 2. Boxes: 2x², 4x, 3x, 6Arriba: 2x, 3. Lado: x, 2. Cajas: 2x², 4x, 3x, 6 |
| = 2x² + 7x + 6 | Combine the two middle boxes (4x + 3x)Combina las dos cajas del medio (4x + 3x) |
| (4x + 7)(3x + 2) | Boxes: 12x², 8x, 21x, 14Cajas: 12x², 8x, 21x, 14 |
| = 12x² + 29x + 14 | Combine 8x + 21xCombina 8x + 21x |
The area model organizes multiplication in a grid: one factor along the top, one down the side, each cell a mini-product, then sum the cells. It's the same distribution as FOIL but nothing gets forgotten — especially useful with three-term factors.El modelo de área organiza la multiplicación en una cuadrícula: un factor arriba, otro al costado, cada celda un mini-producto, y luego se suman las celdas. Es la misma distribución que FOIL pero nada se olvida — especialmente útil con factores de tres términos.
| (x + 2)(x + 7) by area model(x + 2)(x + 7) con modelo de área | Cells: x², 7x, 2x, 14 → x² + 9x + 14. The two 'x' cells sit on the diagonal.Celdas: x², 7x, 2x, 14 → x² + 9x + 14. Las dos celdas con «x» quedan en la diagonal. |
| (2x + 3)(x² + x + 1)(2x + 3)(x² + x + 1) | Six cells: 2x³ + 2x² + 2x + 3x² + 3x + 3 = 2x³ + 5x² + 5x + 3.Seis celdas: 2x³ + 2x² + 2x + 3x² + 3x + 3 = 2x³ + 5x² + 5x + 3. |
Use an area model to multiply (2x + 5)(3x + 4).Usa un modelo de área para multiplicar (2x + 5)(3x + 4).
To factor ax² + bx + c, find two numbers whose PRODUCT is a·c and whose SUM is b. Split the middle term (bx) into those two pieces, fill in the area model, then pull the GCF out of each row and column.Para factorizar ax² + bx + c, halla dos números cuyo PRODUCTO sea a·c y cuya SUMA sea b. Divide el término del medio (bx) en esas dos piezas, llena el modelo de área, y luego extrae el MCD de cada fila y columna.
| 2x² + 15x + 28 | a·c = 2(28) = 56; need two numbers with product 56, sum 15 → 7 and 8a·c = 2(28) = 56; se necesitan dos números con producto 56 y suma 15 → 7 y 8 |
| 2x² + 8x + 7x + 28 | Split the middle term using those two numbersDivide el término del medio usando esos dos números |
| 2x² + 15x + 28 | Product/sum numbers: 7 and 8Números de producto/suma: 7 y 8 |
| = (2x + 7)(x + 4) | Reading the GCFs of the rows/columns of the area model directly gives the binomial factorsLeer los MCD de las filas/columnas del modelo de área da directamente los binomios factores |
| x² + 10x + 16 | product = 16, sum = 10 → 2 and 8 → (x + 2)(x + 8)producto = 16, suma = 10 → 2 y 8 → (x + 2)(x + 8) |
| 3x² + 2x − 8 | product = −24, sum = 2 → 6 and −4 → (3x − 4)(x + 2)producto = −24, suma = 2 → 6 y −4 → (3x − 4)(x + 2) |
| 8x² + 22x + 15 | product = 120, sum = 22 → 12 and 10 → (2x + 3)(4x + 5)producto = 120, suma = 22 → 12 y 10 → (2x + 3)(4x + 5) |
Factoring with an area model runs the grid backwards: put the x²-term top-left and the constant bottom-right, split the middle term across the diagonal (using the AC-method numbers), then read the GCF of each row and column — those are your factors.Factorizar con un modelo de área corre la cuadrícula al revés: pon el término de x² arriba a la izquierda y la constante abajo a la derecha, divide el término del medio en la diagonal (usando los números del método AC), y luego lee el MCD de cada fila y columna — esos son tus factores.
| Factor 3x² + 10x + 8 by gridFactoriza 3x² + 10x + 8 con cuadrícula | a·c = 24 → 6 and 4. Grid diagonal: 6x and 4x. Row/column GCFs read out (3x + 4)(x + 2).a·c = 24 → 6 y 4. Diagonal de la cuadrícula: 6x y 4x. Los MCD de filas/columnas dan (3x + 4)(x + 2). |
| Verify (3x + 4)(x + 2) by re-multiplyingVerifica (3x + 4)(x + 2) re-multiplicando | 3x² + 6x + 4x + 8 = 3x² + 10x + 8 ✓ — the grid works both directions.3x² + 6x + 4x + 8 = 3x² + 10x + 8 ✓ — la cuadrícula funciona en ambas direcciones. |
By hand: factor x² + 8x + 15.A mano: factoriza x² + 8x + 15.
This is the calculator authorized for this course. Polynomial work is easy to double-check numerically — an original expression and its correctly expanded/factored form must always evaluate to the SAME number for any x you pick.Esta es la calculadora autorizada para este curso. El trabajo con polinomios es fácil de verificar numéricamente — una expresión original y su forma expandida/factorizada correcta siempre deben evaluar al MISMO número para cualquier x que elijas.
The calculator is a referee for factoring: expand your factored answer and see if it rebuilds the original, or factor the original and compare to yours. Different-looking answers can still be equivalent — graphing both expressions and seeing one curve is the visual proof.La calculadora es un árbitro para la factorización: expande tu respuesta factorizada y comprueba si reconstruye el original, o factoriza el original y compáralo con el tuyo. Respuestas que se ven diferentes pueden ser equivalentes — graficar ambas expresiones y ver una sola curva es la prueba visual.
| You factored and got (x + 3)(x − 5); the key says x² − 2x − 15.Factorizaste y obtuviste (x + 3)(x − 5); la clave dice x² − 2x − 15. | Expand yours on the calculator: it returns x² − 2x − 15 — identical, so both are right.Expande la tuya en la calculadora: devuelve x² − 2x − 15 — idénticas, así que ambas son correctas. |
| Graph check ideaIdea de verificación con gráfica | Graph y = 2x² + 5x − 3 and y = (2x − 1)(x + 3). One parabola appears, not two — they're the same function.Grafica y = 2x² + 5x − 3 y y = (2x − 1)(x + 3). Aparece una sola parábola, no dos — son la misma función. |
These problems pull from earlier units on purpose. Switching between skills feels harder in the moment, but it helps you remember longer and matches how a real exam mixes topics. Try each one on paper first, then reveal.Estos problemas provienen de unidades anteriores a propósito. Cambiar de una destreza a otra se siente más difícil en el momento, pero te ayuda a recordar por más tiempo y se parece a cómo un examen real mezcla los temas. Intenta cada uno en papel primero, luego revela la respuesta.