Algebra I

Algebra I Resource Hub

HomePre-AlgebraUnit 1🔒 Unit 2🔒 Unit 3🔒 Unit 4🔒 Unit 5🔒 Unit 6Unit 7🔒 Unit 8🔒 Unit 9🔒 Unit 10🔒 Unit 11PrintablesRegents TrainerResources
Unit 7 — Polynomials & Factoring
Unidad 7 — Polinomios y factorización
Unit 7 comic — polynomialsCómic Unidad 7 — polinomios
Meet the Solversons — Leo, Maya & Dad. A quick skit to warm up the unit.Conoce a los Solverson — Leo, Maya y Papá. Una escena breve para abrir la unidad.

Unit 7 — Polynomials & FactoringUnidad 7 — Polinomios y factorización

GoalMeta: Multiply polynomials and factor them by every method — GCF, difference of squares, and trinomials.Multiplicar polinomios y factorizarlos por todos los métodos — MCD, diferencia de cuadrados y trinomios.  ·  TimeTiempo: 6 micro-sessions, 15–20 min each6 microsesiones, 15–20 min cada una

1
Lesson 7.1: Multiplying PolynomialsLección 7.1: Multiplicar polinomios
Every term meets every term (FOIL)Cada término con cada término (FOIL)
2
Lesson 7.2: Factoring: GCF FirstLección 7.2: Factorizar: MCD primero
Un-distribute the common factorDes-distribuye el factor común
3
Lesson 7.3: Difference of SquaresLección 7.3: Diferencia de cuadrados
a² − b² = (a − b)(a + b)a² − b² = (a − b)(a + b)
4
Lesson 7.4: Factoring Trinomials (a = 1)Lección 7.4: Factorizar trinomios (a = 1)
Two numbers: × = c, + = bDos números: × = c, + = b
5
Lesson 7.5: Factoring Trinomials (a ≠ 1)Lección 7.5: Factorizar trinomios (a ≠ 1)
The AC methodEl método AC
6
Lesson 7.6: Which Method?Lección 7.6: ¿Qué método?
The factoring decision treeEl árbol de decisión para factorizar
Lesson 7.1 · Multiplying PolynomialsLección 7.1 · Multiplicar polinomios
▶ Watch first▶ Ver primero
👩‍🏫 Teacher’s noteNota del maestroDon't skip the middle. FOIL gives Outer + Inner — that's the middle term. (x+3)(x+5) has an 8x, not nothing.No te saltes el medio. FOIL da Externos + Internos — ese es el término del medio. (x+3)(x+5) tiene un 8x, no nada.
Stage 1 · The Intuition HookEtapa 1 · La idea intuitiva

The big ideaLa idea principal

Multiplying polynomials is the distributive property, extended: every term in the first factor must "shake hands" with every term in the second. For two binomials, that's FOIL — First, Outer, Inner, Last.Multiplicar polinomios es la propiedad distributiva ampliada: cada término del primer factor debe "saludar" a cada término del segundo. Para dos binomios, eso es FOIL — Primeros, Externos, Internos, Últimos.

Stage 2 · The Core RuleEtapa 2 · La regla central

GoalMeta: Multiply (x + 3)(x + 5)Multiplica (x + 3)(x + 5)

(x + 3)(x + 5)Two binomialsDos binomios
x · x = x²FirstPrimeros
5x + 3x = 8xOuter + InnerExternos + Internos
3 · 5 = 15LastÚltimos
x² + 8x + 15CombineCombina
Stage 3 · The Trap DetectorEtapa 3 · Detector de trampas

Where students get tripped upDónde se tropiezan

TrapTrampa
Doing only First and Last — forgetting the Outer + Inner middle term.Hacer solo Primeros y Últimos — olvidar el término medio (Externos + Internos).
FixArreglo
Every term meets every term: (x + 3)(x + 5) = x² + 8x + 15, not x² + 15.Cada término con cada término: (x + 3)(x + 5) = x² + 8x + 15, no x² + 15.
✗ The wrong pathEl camino incorrecto
(x+3)(x+5) = x² + 15
(skipped the middle)
✓ The right pathEl camino correcto
x² + (5x + 3x) + 15
= x² + 8x + 15
Stage 4 · Reflection & ActionEtapa 4 · Reflexión y acción

Your turn to tryTu turno

Multiply (x + 2)(x + 4)Multiplica (x + 2)(x + 4)

Hint: FOIL, then combine the middle terms.Pista: FOIL, luego combina los términos del medio.

Reveal step-by-step solutionVer solución paso a paso
x² + 4x + 2x + 8FOILFOIL
x² + 6x + 8CombineCombina

Check: Comprobación: x² + 6x + 8 ✓x² + 6x + 8 ✓

Why this makes sensePor qué tiene sentido: Every term meets every term — that's why a binomial times a binomial usually gives three terms.Cada término con cada término — por eso un binomio por un binomio suele dar tres términos.
📝 Assessment📝 Evaluación

Show your work on paperMuestra tu trabajo en papel

Factor all 10 on paper. First two started for you; #9–10 are a challenge. Check by multiplying back.Factoriza los 10 en papel. Los dos primeros iniciados; #9–10 son un reto. Comprueba multiplicando.

  1. (x + 1)(x + 2)Started for youPara empezar: FOIL: x², then x·2 + 1·x, then 1·2FOIL: x², luego x·2 + 1·x, luego 1·2
  2. (x + 3)(x − 2)Started for youPara empezar: Outer + Inner: −2x + 3x = xExternos + Internos: −2x + 3x = x
  3. (x + 4)(x + 5)
  4. (x − 3)(x − 4)
  5. (x + 6)(x − 2)
  6. (x − 5)(x + 5)
  7. (2x + 1)(x + 3)
  8. (x + 7)(x − 7)
  9. (2x + 3)(3x − 1)ChallengeReto
  10. (x − 4)²ChallengeReto
Lesson 7.2 · Factoring: GCF FirstLección 7.2 · Factorizar: MCD primero
▶ Watch first▶ Ver primero
👩‍🏫 Teacher’s noteNota del maestroGCF FIRST, always — and grab the variable too. 6x² + 9x is 3x(2x + 3), not 3(2x² + 3x).MCD PRIMERO, siempre — y toma también la variable. 6x² + 9x es 3x(2x + 3), no 3(2x² + 3x).
Stage 1 · The Intuition HookEtapa 1 · La idea intuitiva

The big ideaLa idea principal

Factoring is multiplying in reverse. The first move, always, is to pull out the greatest common factor — the biggest thing every term shares. It's un-distributing.Factorizar es multiplicar al revés. El primer paso, siempre, es sacar el factor común mayor — lo más grande que comparten todos los términos. Es des-distribuir.

Stage 2 · The Core RuleEtapa 2 · La regla central

GoalMeta: Factor 6x² + 9xFactoriza 6x² + 9x

6x² + 9xFind the GCF of both termsHalla el MCD de ambos términos
GCF = 3x3 divides 6 & 9; x is in both3 divide a 6 y 9; x está en ambos
3x(2x + 3)Divide each term by 3xDivide cada término entre 3x
Stage 3 · The Trap DetectorEtapa 3 · Detector de trampas

Where students get tripped upDónde se tropiezan

TrapTrampa
Pulling out only part of the GCF — or forgetting the variable part.Sacar solo parte del MCD — u olvidar la parte con variable.
FixArreglo
Pull the FULL GCF, number and variable: 6x² + 9x = 3x(2x + 3).Saca el MCD COMPLETO, número y variable: 6x² + 9x = 3x(2x + 3).
✗ The wrong pathEl camino incorrecto
6x² + 9x = 3(2x² + 3x)
(left the x inside)
✓ The right pathEl camino correcto
GCF = 3x
= 3x(2x + 3)
Stage 4 · Reflection & ActionEtapa 4 · Reflexión y acción

Your turn to tryTu turno

Factor 4x² + 8xFactoriza 4x² + 8x

Hint: What number and variable divide both terms?Pista: ¿Qué número y variable dividen ambos términos?

Reveal step-by-step solutionVer solución paso a paso
GCF = 4x4 divides both; x in both4 divide ambos; x en ambos
4x(x + 2)Divide each termDivide cada término

Check: Comprobación: 4x(x + 2) ✓4x(x + 2) ✓

Why this makes sensePor qué tiene sentido: The GCF is the common factor "un-distributed" back outside the parentheses.El MCD es el factor común "des-distribuido" de vuelta afuera del paréntesis.
📝 Assessment📝 Evaluación

Show your work on paperMuestra tu trabajo en papel

Factor all 10 on paper. First two started for you; #9–10 are a challenge. Check by multiplying back.Factoriza los 10 en papel. Los dos primeros iniciados; #9–10 son un reto. Comprueba multiplicando.

  1. 2x + 6Started for youPara empezar: GCF is 2El MCD es 2
  2. 5x² + 10xStarted for youPara empezar: GCF is 5xEl MCD es 5x
  3. 3x + 12
  4. 4x² + 6x
  5. 8x² − 12x
  6. 9x + 15
  7. x² + 7x
  8. 10x² + 5x
  9. 12x³ + 18x²ChallengeReto
  10. 6x² − 9x + 3ChallengeReto
Lesson 7.3 · Difference of SquaresLección 7.3 · Diferencia de cuadrados
▶ Watch first▶ Ver primero
👩‍🏫 Teacher’s noteNota del maestroa² − b² factors; a² + b² does NOT. Take the square root of each piece for (a − b)(a + b).a² − b² se factoriza; a² + b² NO. Saca la raíz de cada parte para (a − b)(a + b).
Stage 1 · The Intuition HookEtapa 1 · La idea intuitiva

The big ideaLa idea principal

When you see a² − b² — a perfect square minus a perfect square — it factors instantly into (a − b)(a + b), conjugates whose middle terms cancel. But a SUM of squares, a² + b², does not factor.Cuando ves a² − b² — un cuadrado perfecto menos otro — se factoriza al instante en (a − b)(a + b), conjugados cuyos términos medios se cancelan. Pero una SUMA de cuadrados, a² + b², no se factoriza.

Stage 2 · The Core RuleEtapa 2 · La regla central

GoalMeta: Factor x² − 25Factoriza x² − 25

x² − 25Both are perfect squaresAmbos son cuadrados perfectos
= (x)² − (5)²Recognize a² − b²Reconoce a² − b²
= (x − 5)(x + 5)(a − b)(a + b)(a − b)(a + b)
Stage 3 · The Trap DetectorEtapa 3 · Detector de trampas

Where students get tripped upDónde se tropiezan

TrapTrampa
Trying to factor a SUM of squares, or forgetting to square-root each part.Intentar factorizar una SUMA de cuadrados, u olvidar sacar la raíz de cada parte.
FixArreglo
Only a² − b² factors: (a − b)(a + b). A sum a² + b² does not factor.Solo a² − b² se factoriza: (a − b)(a + b). Una suma a² + b² no se factoriza.
✗ The wrong pathEl camino incorrecto
x² + 25 = (x + 5)(x + 5)
(sum of squares — no!)
✓ The right pathEl camino correcto
x² − 25 = (x − 5)(x + 5)
(difference of squares)
Stage 4 · Reflection & ActionEtapa 4 · Reflexión y acción

Your turn to tryTu turno

Factor x² − 49Factoriza x² − 49

Hint: √x² = x and √49 = 7.Pista: √x² = x y √49 = 7.

Reveal step-by-step solutionVer solución paso a paso
(x)² − (7)²Both perfect squaresAmbos cuadrados perfectos
(x − 7)(x + 7)(a − b)(a + b)(a − b)(a + b)

Check: Comprobación: (x − 7)(x + 7) ✓(x − 7)(x + 7) ✓

Why this makes sensePor qué tiene sentido: (a − b)(a + b) expands to a² − b² — the +ab and −ab cancel, leaving only the difference.(a − b)(a + b) se expande a a² − b² — el +ab y el −ab se cancelan, dejando solo la diferencia.
📝 Assessment📝 Evaluación

Show your work on paperMuestra tu trabajo en papel

Factor all 10 on paper. First two started for you; #9–10 are a challenge. Check by multiplying back.Factoriza los 10 en papel. Los dos primeros iniciados; #9–10 son un reto. Comprueba multiplicando.

  1. x² − 9Started for youPara empezar: √x² = x, √9 = 3√x² = x, √9 = 3
  2. x² − 16Started for youPara empezar: √16 = 4√16 = 4
  3. x² − 4
  4. x² − 36
  5. x² − 100
  6. x² − 1
  7. 4x² − 9
  8. x² − 64
  9. 9x² − 25ChallengeReto
  10. x² + 16ChallengeReto
Lesson 7.4 · Factoring Trinomials (a = 1)Lección 7.4 · Factorizar trinomios (a = 1)
▶ Watch first▶ Ver primero
👩‍🏫 Teacher’s noteNota del maestroMultiply to c, add to b. When c is negative, one factor is negative — let the sign of b pick which.Multiplica a c, suma a b. Cuando c es negativo, un factor es negativo — el signo de b decide cuál.
Stage 1 · The Intuition HookEtapa 1 · La idea intuitiva

The big ideaLa idea principal

To factor x² + bx + c, find two numbers that MULTIPLY to c and ADD to b. Those two numbers become the constants in (x + ?)(x + ?). It's FOIL run backwards.Para factorizar x² + bx + c, halla dos números que MULTIPLIQUEN a c y SUMEN a b. Esos dos números son las constantes en (x + ?)(x + ?). Es FOIL al revés.

Stage 2 · The Core RuleEtapa 2 · La regla central

GoalMeta: Factor x² + 7x + 12Factoriza x² + 7x + 12

x² + 7x + 12Need two numbers: × = 12, + = 7Necesitas dos números: × = 12, + = 7
3 and 43·4 = 12 and 3 + 4 = 73·4 = 12 y 3 + 4 = 7
(x + 3)(x + 4)Those numbers go in the binomialsEsos números van en los binomios
Stage 3 · The Trap DetectorEtapa 3 · Detector de trampas

Where students get tripped upDónde se tropiezan

TrapTrampa
Getting the signs wrong (especially when c is negative), or adding when you should multiply.Equivocar los signos (sobre todo con c negativo), o sumar cuando debes multiplicar.
FixArreglo
Two numbers must multiply to c AND add to b. For x² + x − 6: need × = −6, + = 1 → 3 and −2.Dos números que multipliquen a c Y sumen a b. Para x² + x − 6: × = −6, + = 1 → 3 y −2.
✗ The wrong pathEl camino incorrecto
x² + x − 6 = (x + 2)(x + 3)
(2·3 = 6, not −6)
✓ The right pathEl camino correcto
× = −6, + = 1 → 3 and −2
(x + 3)(x − 2)
Stage 4 · Reflection & ActionEtapa 4 · Reflexión y acción

Your turn to tryTu turno

Factor x² + 5x + 6Factoriza x² + 5x + 6

Hint: Two numbers: × = 6, + = 5.Pista: Dos números: × = 6, + = 5.

Reveal step-by-step solutionVer solución paso a paso
2 and 32·3 = 6, 2 + 3 = 52·3 = 6, 2 + 3 = 5
(x + 2)(x + 3)

Check: Comprobación: (x + 2)(x + 3) ✓(x + 2)(x + 3) ✓

Why this makes sensePor qué tiene sentido: (x + m)(x + n) = x² + (m + n)x + mn — so m·n = c and m + n = b.(x + m)(x + n) = x² + (m + n)x + mn — así m·n = c y m + n = b.
📝 Assessment📝 Evaluación

Show your work on paperMuestra tu trabajo en papel

Factor all 10 on paper. First two started for you; #9–10 are a challenge. Check by multiplying back.Factoriza los 10 en papel. Los dos primeros iniciados; #9–10 son un reto. Comprueba multiplicando.

  1. x² + 5x + 4Started for youPara empezar: × = 4, + = 5 → 1 and 4× = 4, + = 5 → 1 y 4
  2. x² + 8x + 15Started for youPara empezar: × = 15, + = 8 → 3 and 5× = 15, + = 8 → 3 y 5
  3. x² + 6x + 8
  4. x² + 7x + 10
  5. x² + 9x + 20
  6. x² − 5x + 6
  7. x² + 2x − 8
  8. x² − x − 12
  9. x² − 7x + 12ChallengeReto
  10. x² + 3x − 10ChallengeReto
Lesson 7.5 · Factoring Trinomials (a ≠ 1)Lección 7.5 · Factorizar trinomios (a ≠ 1)
▶ Watch first▶ Ver primero
👩‍🏫 Teacher’s noteNota del maestroWhen a ≠ 1, use a·c (not c alone). Multiply the outer coefficients, split the middle, then group.Cuando a ≠ 1, usa a·c (no solo c). Multiplica los coeficientes externos, divide el medio y agrupa.
Stage 1 · The Intuition HookEtapa 1 · La idea intuitiva

The big ideaLa idea principal

When the leading number isn't 1, you can't just find two numbers for c — the front coefficient gets in the way. The AC method finds the hidden pair by multiplying a·c, then splits the middle term so you can factor by grouping.Cuando el número principal no es 1, no basta hallar dos números para c — el coeficiente del frente estorba. El método AC halla el par oculto multiplicando a·c, luego divide el término medio para factorizar por agrupación.

Stage 2 · The Core RuleEtapa 2 · La regla central

GoalMeta: Factor 3x² + 10x + 8Factoriza 3x² + 10x + 8

a · c = 3 · 8 = 24Multiply the outer coefficientsMultiplica los coeficientes externos
6 and 4× = 24 and + = 10× = 24 y + = 10
3x² + 6x + 4x + 8Split the middle termDivide el término medio
3x(x + 2) + 4(x + 2)Factor by groupingFactoriza por agrupación
(3x + 4)(x + 2)Common factor (x + 2)Factor común (x + 2)
Stage 3 · The Trap DetectorEtapa 3 · Detector de trampas

Where students get tripped upDónde se tropiezan

TrapTrampa
Looking for two numbers that multiply to c alone — that only works when a = 1.Buscar dos números que multipliquen solo a c — eso solo sirve cuando a = 1.
FixArreglo
Use a·c (here 24), not c alone. And pull a GCF first if there is one.Usa a·c (aquí 24), no solo c. Y saca un MCD primero si lo hay.
✗ The wrong pathEl camino incorrecto
try × = 8, + = 10
no integer pair works → dead end
✓ The right pathEl camino correcto
use a·c = 24 → 6 and 4
split, group → (3x + 4)(x + 2)
Stage 4 · Reflection & ActionEtapa 4 · Reflexión y acción

Your turn to tryTu turno

Factor 2x² + 7x + 3Factoriza 2x² + 7x + 3

Hint: a · c = 6 — two numbers × = 6, + = 7.Pista: a · c = 6 — dos números × = 6, + = 7.

Reveal step-by-step solutionVer solución paso a paso
a · c = 6 → 6 and 1× = 6, + = 7× = 6, + = 7
2x² + 6x + x + 3Split the middleDivide el medio
2x(x + 3) + 1(x + 3)GroupAgrupa
(2x + 1)(x + 3)Common factorFactor común

Check: Comprobación: (2x + 1)(x + 3) ✓(2x + 1)(x + 3) ✓

Why this makes sensePor qué tiene sentido: Multiplying a·c reveals the hidden pair that lets you split the middle term and group — the area model run backwards.Multiplicar a·c revela el par oculto que te deja dividir el término medio y agrupar — el modelo de área al revés.
📝 Assessment📝 Evaluación

Show your work on paperMuestra tu trabajo en papel

Factor all 10 on paper. First two started for you; #9–10 are a challenge. Check by multiplying back.Factoriza los 10 en papel. Los dos primeros iniciados; #9–10 son un reto. Comprueba multiplicando.

  1. 2x² + 5x + 2Started for youPara empezar: a·c = 4; × = 4, + = 5 → 4 and 1a·c = 4; × = 4, + = 5 → 4 y 1
  2. 3x² + 8x + 4Started for youPara empezar: a·c = 12; × = 12, + = 8 → 6 and 2a·c = 12; × = 12, + = 8 → 6 y 2
  3. 2x² + 7x + 6
  4. 5x² + 11x + 2
  5. 3x² + 7x + 2
  6. 2x² + 9x + 4
  7. 4x² + 8x + 3
  8. 3x² + 10x + 3
  9. 6x² + 11x + 3ChallengeReto
  10. 4x² + 4x − 3ChallengeReto
Lesson 7.6 · Which Method?Lección 7.6 · ¿Qué método?
▶ Watch first▶ Ver primero
👩‍🏫 Teacher’s noteNota del maestroGCF first, count the terms, pick the pattern, then factor completely. Same four questions every time.MCD primero, cuenta los términos, elige el patrón y factoriza por completo. Las mismas cuatro preguntas siempre.
Stage 1 · The Intuition HookEtapa 1 · La idea intuitiva

The big ideaLa idea principal

By now you know several factoring moves — GCF, difference of squares, and trinomials. The hard part isn't any one method; it's knowing which to reach for. This lesson is your factoring flowchart.Ya conoces varios movimientos — MCD, diferencia de cuadrados y trinomios. Lo difícil no es un método; es saber cuál usar. Esta lección es tu diagrama de flujo.

Stage 2 · The Core RuleEtapa 2 · La regla central

Choose the right methodElige el método correcto

Factor completely — start hereFactoriza por completo — empieza aquí
↓
1. GCF first — pull out the greatest common factor.MCD primero — saca el factor común mayor.6x² + 9x → 3x(2x + 3)
↓
2. Count the terms, then choose:Cuenta los términos, luego elige:
2 terms2 términosDifference of squares a² − b²? → (a − b)(a + b).¿Diferencia de cuadrados a² − b²? → (a − b)(a + b).Sum a² + b² does NOT factorLa suma a² + b² NO factoriza
3 terms — trinomial3 términos — trinomio
a = 1 → two numbers: × = c, + = ba = 1 → dos números: × = c, + = b
a ≠ 1 → AC method (× a·c, split, group)a ≠ 1 → método AC (× a·c, divide, agrupa)
↓
3. Factor completely — can any piece still factor?3. Factoriza por completo — ¿algún factor aún se puede factorizar?
Stage 3 · The Trap DetectorEtapa 3 · Detector de trampas

Where students get tripped upDónde se tropiezan

TrapTrampa
Jumping into a method before pulling the GCF — e.g., factoring 2x² + 8x + 6 without taking out the 2.Lanzarte a un método antes de sacar el MCD — p. ej., factorizar 2x² + 8x + 6 sin sacar el 2.
FixArreglo
GCF always comes first. Then count terms to choose. And factor completely — a result may still factor.El MCD siempre va primero. Luego cuenta los términos para elegir. Y factoriza por completo — un resultado puede seguir factorizando.
✗ The wrong pathEl camino incorrecto
2x² + 8x + 6 as a trinomial (no GCF)
→ (2x + 2)(x + 3), not complete
✓ The right pathEl camino correcto
GCF 2 → 2(x² + 4x + 3)
= 2(x + 1)(x + 3)
Stage 4 · Reflection & ActionEtapa 4 · Reflexión y acción

Your turn to tryTu turno

Factor completely: 2x² − 18Factoriza por completo: 2x² − 18

Hint: GCF first — what do both terms share? Then how many terms are left?Pista: MCD primero — ¿qué comparten? Luego, ¿cuántos términos quedan?

Reveal step-by-step solutionVer solución paso a paso
GCF = 2 → 2(x² − 9)Pull the GCFSaca el MCD
x² − 9 = difference of squaresTwo terms, both squaresDos términos, ambos cuadrados
2(x − 3)(x + 3)Factor completelyFactoriza por completo

Check: Comprobación: 2(x − 3)(x + 3) ✓2(x − 3)(x + 3) ✓

Why this makes sensePor qué tiene sentido: The flowchart stops you from guessing — GCF, count the terms, pick the pattern, factor completely. Same four questions every time.El diagrama evita adivinar — MCD, cuenta los términos, elige el patrón, factoriza por completo. Las mismas cuatro preguntas siempre.
📝 Assessment📝 Evaluación

Show your work on paperMuestra tu trabajo en papel

Factor all 10 on paper. First two started for you; #9–10 are a challenge. Check by multiplying back.Factoriza los 10 en papel. Los dos primeros iniciados; #9–10 son un reto. Comprueba multiplicando.

  1. 3x² + 12xStarted for youPara empezar: GCF first: both share 3xMCD primero: ambos comparten 3x
  2. x² − 16Started for youPara empezar: Two terms, both squares → difference of squaresDos términos, cuadrados → diferencia de cuadrados
  3. x² + 7x + 12
  4. 5x² − 20
  5. 2x² + 5x + 2
  6. x² − 9
  7. 4x² + 12x + 8
  8. 3x² + 10x + 3
  9. 2x³ − 8xChallengeReto
  10. 3x² − 27ChallengeReto