Find the y-intercept and slope of y = −2x + 7.Halla el intercepto en y y la pendiente de y = −2x + 7.
A point (x, y) is a solution to a system only if it makes every equation in the system true — not just one.Un punto (x, y) es una solución de un sistema solo si hace verdadera cada ecuación del sistema — no solo una.
| Is (2, 5) a solution to y = 3x − 1 and y = −x + 7?¿Es (2, 5) una solución de y = 3x − 1 y y = −x + 7? | Check bothVerifica ambas |
| 3(2) − 1 = 5 ✓ −(2) + 7 = 5 ✓ | Both true → (2, 5) IS a solution to the systemAmbas verdaderas → (2, 5) SÍ es una solución del sistema |
Graph both lines. Wherever they cross is the one point that satisfies both equations at once — that's the system's solution.Grafica ambas rectas. Donde se cruzan está el único punto que satisface ambas ecuaciones a la vez — esa es la solución del sistema.
| y = x + 1 and y = −x + 5y = x + 1 y y = −x + 5 | Graph both; they intersect at (2, 3)Grafica ambas; se intersecan en (2, 3) |
| Check: 2+1=3 ✓ −2+5=3 ✓Verifica: 2+1=3 ✓ −2+5=3 ✓ | Confirms (2, 3) is the solutionConfirma que (2, 3) es la solución |
A system asks: where do two stories both come true? Graphically, that's the intersection point — the one (x, y) sitting on both lines. Graph each line with intercept-and-slope, then read off where they cross. Always verify by plugging the point into both equations.Un sistema pregunta: ¿dónde se cumplen las dos historias a la vez? Gráficamente, ese es el punto de intersección — el único (x, y) que está en ambas rectas. Grafica cada recta con intercepto y pendiente, y lee dónde se cruzan. Siempre verifica sustituyendo el punto en ambas ecuaciones.
| Solve by graphing: y = x + 2 and y = −x + 6.Resuelve graficando: y = x + 2 y y = −x + 6. | Lines cross at (2, 4). Check: 4 = 2 + 2 ✓ and 4 = −2 + 6 ✓.Las rectas se cruzan en (2, 4). Verifica: 4 = 2 + 2 ✓ y 4 = −2 + 6 ✓. |
| What does it mean if the lines never cross?¿Qué significa si las rectas nunca se cruzan? | No solution — parallel lines are two stories that never agree (same slope, different intercepts).No hay solución — las rectas paralelas son dos historias que nunca coinciden (misma pendiente, distintos interceptos). |
Solve for y: 2x + y = 9Despeja y: 2x + y = 9
If one equation already tells you what y equals, plug that whole expression in for y in the other equation. This collapses two variables down to one.Si una ecuación ya te dice a qué es igual y, sustituye toda esa expresión en lugar de y en la otra ecuación. Esto reduce dos variables a una sola.
| y = 2x + 5 y = −3x − 10 | Both equal y, so set them equal to each otherAmbas son iguales a y, así que iguálalas entre sí |
| 2x + 5 = −3x − 10 → x = −3 | Solve the one-variable equationResuelve la ecuación de una variable |
| y = 2(−3) + 5 = −1 | Plug x back into either original equationSustituye x en cualquiera de las ecuaciones originales |
If neither equation starts as "y = ...", isolate one variable in the simpler-looking equation first, then substitute.Si ninguna ecuación empieza como «y = ...», primero despeja una variable en la ecuación que parezca más sencilla, y luego sustituye.
| 4x − 2y = 16 y = −5x + 13 | Second equation is already isolated for yLa segunda ecuación ya tiene despejada la y |
| 4x − 2(−5x + 13) = 16 → x = 3 | Substitute, then solveSustituye y luego resuelve |
Substitution swaps a variable for what it equals — if y = 3x − 2, then every y in the other equation can be replaced by (3x − 2), in parentheses. That collapses two variables into one solvable equation. Best when one equation already has a variable alone.La sustitución cambia una variable por aquello a lo que es igual — si y = 3x − 2, entonces cada y en la otra ecuación puede reemplazarse por (3x − 2), entre paréntesis. Eso reduce dos variables a una ecuación resoluble. Es ideal cuando una ecuación ya tiene una variable despejada.
| Solve: x = 2y + 1 and 3x + y = 17.Resuelve: x = 2y + 1 y 3x + y = 17. | 3(2y + 1) + y = 17 → 7y + 3 = 17 → y = 2, then x = 5. Solution (5, 2).3(2y + 1) + y = 17 → 7y + 3 = 17 → y = 2, luego x = 5. Solución (5, 2). |
| Why the parentheses?¿Por qué los paréntesis? | Substituting into 3x without them gives 3·2y + 1 instead of 3(2y + 1) = 6y + 3 — a lost distribution and a wrong answer.Sustituir en 3x sin ellos da 3·2y + 1 en lugar de 3(2y + 1) = 6y + 3 — una distribución perdida y una respuesta incorrecta. |
Is (4, 1) a solution to x − y = 3 and x + y = 5?¿Es (4, 1) una solución de x − y = 3 y x + y = 5?
A system's solution stays the solution if you: (1) rewrite either equation using properties of equality, or (2) add or subtract the two equations together. This is the entire basis for elimination.La solución de un sistema sigue siendo la solución si: (1) reescribes cualquiera de las ecuaciones usando propiedades de igualdad, o (2) sumas o restas las dos ecuaciones entre sí. Esta es toda la base de la eliminación.
| 4x + 2y = 14 and x − y = −4, solution (1, 5)4x + 2y = 14 y x − y = −4, solución (1, 5) | Multiply eqn 2 by 2: 2x − 2y = −8 — still true at (1,5)Multiplica la ec. 2 por 2: 2x − 2y = −8 — sigue siendo verdadera en (1,5) |
| Add to eqn 1: 6x = 6 → x = 1Suma a la ec. 1: 6x = 6 → x = 1 | Adding the rewritten equation to the first eliminates ySumar la ecuación reescrita a la primera elimina la y |
Pick a multiplier that turns one variable's coefficients into opposites, so adding the equations cancels that variable out.Elige un multiplicador que convierta los coeficientes de una variable en opuestos, de modo que al sumar las ecuaciones esa variable se cancele.
| 2x + 4y = 2 6x + 3y = −3 | Multiply eqn 1 by −3 → −6x −12y = −6Multiplica la ec. 1 por −3 → −6x −12y = −6 |
| Add: −9y = −9 → y = 1, then x = −1Suma: −9y = −9 → y = 1, luego x = −1 | x-terms canceledLos términos de x se cancelaron |
Systems come in exactly three flavors: one solution (lines cross once), no solution (parallel — same slope, different intercepts), or infinitely many (the 'two' equations are secretly the same line). Put both in y = mx + b and compare slopes and intercepts to classify without solving.Los sistemas vienen en exactamente tres sabores: una solución (las rectas se cruzan una vez), sin solución (paralelas — misma pendiente, distintos interceptos), o infinitas soluciones (las «dos» ecuaciones son secretamente la misma recta). Escribe ambas en y = mx + b y compara pendientes e interceptos para clasificar sin resolver.
| Classify: y = 3x + 1 and 6x − 2y = −2.Clasifica: y = 3x + 1 y 6x − 2y = −2. | Second becomes y = 3x + 1 — identical line, infinitely many solutions.La segunda se convierte en y = 3x + 1 — recta idéntica, infinitas soluciones. |
| Classify: 2x + y = 5 and 2x + y = 9.Clasifica: 2x + y = 5 y 2x + y = 9. | Same left side, different totals — contradiction. Parallel, no solution.Mismo lado izquierdo, distintos totales — contradicción. Paralelas, sin solución. |
Multiply both sides of x − 3y = 5 by −2. What's the new equation?Multiplica ambos lados de x − 3y = 5 por −2. ¿Cuál es la nueva ecuación?
Multiply one or both equations so a variable's coefficients become opposites, add the equations to eliminate it, solve for the remaining variable, then substitute back.Multiplica una o ambas ecuaciones para que los coeficientes de una variable se vuelvan opuestos, suma las ecuaciones para eliminarla, resuelve para la variable restante y luego sustituye de regreso.
| 5x − 2y = 10 2x + 7y = 43 | Multiply eqn 1 by 2, eqn 2 by −5Multiplica la ec. 1 por 2 y la ec. 2 por −5 |
| 10x − 4y = 20 −10x − 35y = −215 | x-terms are now oppositesLos términos de x ahora son opuestos |
| Add: −39y = −195 → y = 5, then x = 4Suma: −39y = −195 → y = 5, luego x = 4 | Substitute y = 5 into either original equationSustituye y = 5 en cualquiera de las ecuaciones originales |
If a line passes through two known points, plug both into y = mx + b to get a system in m and b, then eliminate.Si una recta pasa por dos puntos conocidos, sustituye ambos en y = mx + b para obtener un sistema en m y b, y luego elimina.
| Points (1, 6) and (4, 15)Puntos (1, 6) y (4, 15) | 6 = m(1)+b 15 = m(4)+b |
| Subtract: 9 = 3m → m = 3, then b = 3Resta: 9 = 3m → m = 3, luego b = 3 | y = 3x + 3 |
Elimination adds the equations so one variable cancels. If nothing cancels yet, multiply one (or both) equations by a number to manufacture opposite coefficients first. Lining up x's, y's, and constants in columns prevents most errors.La eliminación suma las ecuaciones para que una variable se cancele. Si nada se cancela todavía, multiplica una (o ambas) ecuaciones por un número para fabricar coeficientes opuestos primero. Alinear las x, las y y las constantes en columnas evita la mayoría de los errores.
| Solve: 2x + 3y = 12 and 4x − 3y = 6.Resuelve: 2x + 3y = 12 y 4x − 3y = 6. | The 3y's are already opposites: add → 6x = 18 → x = 3, then y = 2.Los 3y ya son opuestos: suma → 6x = 18 → x = 3, luego y = 2. |
| Solve: x + 2y = 8 and 3x + 5y = 21.Resuelve: x + 2y = 8 y 3x + 5y = 21. | Multiply the first by −3: −3x − 6y = −24. Add: −y = −3 → y = 3, x = 2.Multiplica la primera por −3: −3x − 6y = −24. Suma: −y = −3 → y = 3, x = 2. |
Write an expression for the total value of x $5-bills and y $10-bills.Escribe una expresión para el valor total de x billetes de $5 y y billetes de $10.
Whenever a word problem gives two unknowns and two separate facts relating them, each fact becomes one equation in the system.Siempre que un problema verbal da dos incógnitas y dos datos separados que las relacionan, cada dato se convierte en una ecuación del sistema.
| Total bills = 9; total value = $55 (fives and tens)Total de billetes = 9; valor total = $55 (de cinco y de diez) | f + t = 9 5f + 10t = 55 |
| Solve: t = 2, f = 7Resuelve: t = 2, f = 7 | 2 tens and 7 fives2 de diez y 7 de cinco |
| 3 pretzels + 4 sodas = $11.25; 5 pretzels + 2 sodas = $8.253 pretzels + 4 refrescos = $11.25; 5 pretzels + 2 refrescos = $8.25 | 3p + 4s = 11.25 5p + 2s = 8.25 |
| Solve: p = $0.75, s = $2.25Resuelve: p = $0.75, s = $2.25 | Elimination works well hereLa eliminación funciona bien aquí |
Word problems with two unknowns need two equations — usually one about how many (count) and one about how much (value). Define both variables in writing first, build the count equation and the value equation, then solve with substitution or elimination.Los problemas verbales con dos incógnitas necesitan dos ecuaciones — normalmente una sobre cuántos (cantidad) y otra sobre cuánto (valor). Define ambas variables por escrito primero, construye la ecuación de cantidad y la de valor, y resuelve por sustitución o eliminación.
| Nickels and dimes: 20 coins worth $1.55.Monedas de 5 y 10 centavos: 20 monedas que valen $1.55. | n + d = 20 and 0.05n + 0.10d = 1.55 → multiply first by 0.05, subtract: 0.05d = 0.55 → d = 11, n = 9.n + d = 20 y 0.05n + 0.10d = 1.55 → multiplica la primera por 0.05 y resta: 0.05d = 0.55 → d = 11, n = 9. |
| Two burgers and a fry cost $11; one burger and two fries cost $8.50.Dos hamburguesas y una papa cuestan $11; una hamburguesa y dos papas cuestan $8.50. | 2b + f = 11 and b + 2f = 8.5 → b = $4.50, f = $2.2b + f = 11 y b + 2f = 8.5 → b = $4.50, f = $2. |
Solve algebraically: 2x − 3 = x + 5Resuelve algebraicamente: 2x − 3 = x + 5
To solve f(x) = g(x), graph y = f(x) and y = g(x) separately. The x-coordinate(s) of their intersection point(s) are the solution(s) — this works even for equations you can't yet solve algebraically.Para resolver f(x) = g(x), grafica y = f(x) y y = g(x) por separado. Las coordenadas x de sus puntos de intersección son las soluciones — esto funciona incluso con ecuaciones que aún no puedes resolver algebraicamente.
| x² − 9 = −2x + 6 | Graph y = x² − 9 and y = −2x + 6Grafica y = x² − 9 y y = −2x + 6 |
| Intersections at x = −5 and x = 3Intersecciones en x = −5 y x = 3 | Both x-values solve the original equationAmbos valores de x resuelven la ecuación original |
| 2|x + 1| − 6 = x | Graph y = 2|x+1|−6 and y = x, find intersectionsGrafica y = 2|x+1|−6 y y = x, y halla las intersecciones |
| Check each x-value in the original equation to confirmVerifica cada valor de x en la ecuación original para confirmar | Always verify graphical answers algebraically when possibleSiempre verifica algebraicamente las respuestas gráficas cuando sea posible |
Solving f(x) = g(x) graphically means finding where the two graphs share a point — the x-values of the intersections ARE the solutions. This works for any equation: split it into left side and right side, graph both, and read the crossing points.Resolver f(x) = g(x) gráficamente significa hallar dónde las dos gráficas comparten un punto — los valores de x de las intersecciones SON las soluciones. Esto funciona para cualquier ecuación: sepárala en lado izquierdo y lado derecho, grafica ambos y lee los puntos de cruce.
| Solve |x| = 3 graphically.Resuelve |x| = 3 gráficamente. | The V of y = |x| meets the horizontal line y = 3 at x = −3 and x = 3.La V de y = |x| se encuentra con la recta horizontal y = 3 en x = −3 y x = 3. |
| Solve x² = 2x + 3 graphically.Resuelve x² = 2x + 3 gráficamente. | Parabola meets line at x = −1 and x = 3 — matching the algebra (x−3)(x+1) = 0.La parábola se encuentra con la recta en x = −1 y x = 3 — coincide con el álgebra (x−3)(x+1) = 0. |
Is (4, 1) a solution to y ≤ 2x?¿Es (4, 1) una solución de y ≤ 2x?
Just like systems of equations, a point solves a system of inequalities only if it makes ALL of the inequalities true at once — check each one separately.Igual que en los sistemas de ecuaciones, un punto resuelve un sistema de desigualdades solo si hace verdaderas TODAS las desigualdades a la vez — verifica cada una por separado.
| Is (4, 9) a solution to x + y > 10 and y ≥ 3x − 5?¿Es (4, 9) una solución de x + y > 10 y y ≥ 3x − 5? | 4+9=13 > 10 ✓ 9 ≥ 12−5=7 ✓ |
| Both true → YESAmbas verdaderas → SÍ | Solution set is the overlap of both shaded regionsEl conjunto solución es la superposición de ambas regiones sombreadas |
Graph each inequality's boundary line and shading separately, then the system's solution is only the region shaded by both — the darker overlap.Grafica la recta frontera y el sombreado de cada desigualdad por separado; la solución del sistema es solo la región sombreada por ambas — la superposición más oscura.
| y < −(3/2)x + 2 and x ≥ −2y < −(3/2)x + 2 y x ≥ −2 | Dashed line for < (not included), solid line for ≥ (included)Línea discontinua para < (no incluida), línea sólida para ≥ (incluida) |
| y ≥ −3, x < 5, y ≤ 2x | Forms a triangle — use base × height ÷ 2Forma un triángulo — usa base × altura ÷ 2 |
A system of inequalities shades one region per inequality; the solution is the overlap — where all shadings stack. Graph each boundary (solid vs dashed), shade using a test point, and look for the double-shaded zone. Any point in the overlap satisfies every inequality at once.Un sistema de desigualdades sombrea una región por desigualdad; la solución es la superposición — donde todos los sombreados se apilan. Grafica cada frontera (sólida vs. discontinua), sombrea usando un punto de prueba, y busca la zona doblemente sombreada. Cualquier punto en la superposición satisface todas las desigualdades a la vez.
| Is (2, 1) a solution to y < x + 2 and y ≥ −x?¿Es (2, 1) una solución de y < x + 2 y y ≥ −x? | 1 < 4 ✓ and 1 ≥ −2 ✓ — yes, it's in the overlap.1 < 4 ✓ y 1 ≥ −2 ✓ — sí, está en la superposición. |
| Is (0, 4) a solution to the same system?¿Es (0, 4) una solución del mismo sistema? | 4 < 0 + 2? No — it fails the first inequality, so it's out, even though it passes the second.¿4 < 0 + 2? No — falla la primera desigualdad, así que queda fuera, aunque pase la segunda. |
Translate: "at most 40 hours total" using x and y.Traduce: «a lo sumo 40 horas en total» usando x y y.
Each real-world limit ("at most," "at least," "no more than") becomes one inequality. A situation typically needs two or more inequalities working together.Cada límite del mundo real («a lo sumo», «al menos», «no más de») se convierte en una desigualdad. Una situación normalmente necesita dos o más desigualdades trabajando juntas.
| Job pays $12/hr mowing, $18/hr tutoring; works ≤ 25 hrs/week; needs ≥ $350Trabajo que paga $12/h cortando césped y $18/h dando tutorías; trabaja ≤ 25 h/semana; necesita ≥ $350 | x + y ≤ 25 12x + 18y ≥ 350 |
To find the maximum or minimum of one variable while satisfying every constraint, solve the two boundary equations as a system — that intersection is the tightest possible point.Para hallar el máximo o mínimo de una variable cumpliendo todas las restricciones, resuelve las dos ecuaciones frontera como un sistema — esa intersección es el punto más ajustado posible.
| x + y = 25 12x + 18y = 350 | Solve by elimination to find the exact trade-off pointResuelve por eliminación para hallar el punto exacto de equilibrio |
To check whether a specific plan satisfies a modeling system, substitute the numbers into every inequality — all must hold true.Para verificar si un plan específico satisface un sistema de modelado, sustituye los números en cada desigualdad — todas deben cumplirse.
Inequality modeling uses the same translation skills, with comparison words setting the symbol: 'at most' ≤, 'at least' ≥, 'more than' >, 'cheaper than' <. Constraint problems (budget + minimum items) naturally give systems — each sentence in the problem becomes one inequality.El modelado con desigualdades usa las mismas destrezas de traducción, con palabras de comparación fijando el símbolo: «a lo sumo» ≤, «al menos» ≥, «más que» >, «más barato que» <. Los problemas de restricciones (presupuesto + mínimo de artículos) naturalmente dan sistemas — cada oración del problema se convierte en una desigualdad.
| A fundraiser needs more than $300, selling candles at $12 each. How many?Una recaudación necesita más de $300, vendiendo velas a $12 cada una. ¿Cuántas? | 12c > 300 → c > 25, so at least 26 candles (count must be whole).12c > 300 → c > 25, así que al menos 26 velas (la cantidad debe ser entera). |
| Gym A: $25/mo. Gym B: $99 signup + $14/mo. When is B cheaper?Gimnasio A: $25/mes. Gimnasio B: $99 de inscripción + $14/mes. ¿Cuándo es más barato B? | 99 + 14m < 25m → 99 < 11m → m > 9: cheaper starting in month 10.99 + 14m < 25m → 99 < 11m → m > 9: más barato a partir del mes 10. |
These problems pull from earlier units on purpose. Switching between skills feels harder in the moment, but it helps you remember longer and matches how a real exam mixes topics. Try each one on paper first, then reveal.Estos problemas provienen de unidades anteriores a propósito. Cambiar de una destreza a otra se siente más difícil en el momento, pero te ayuda a recordar por más tiempo y se parece a cómo un examen real mezcla los temas. Intenta cada uno en papel primero, luego revela la respuesta.