If f(x) = 3x − 2, find f(−4).Si f(x) = 3x − 2, halla f(−4).
Any function that can be written y = ax² + bx + c, where a ≠ 0, is quadratic. b and c are allowed to be zero, but a can never be zero — if it were, the x² term would disappear and the function would just be linear.Cualquier función que pueda escribirse como y = ax² + bx + c, donde a ≠ 0, es cuadrática. b y c pueden ser cero, pero a nunca puede serlo — si lo fuera, el término x² desaparecería y la función sería simplemente lineal.
| y = 10 − 3x² + 7x | Rewrite in standard form: y = −3x² + 7x + 10Reescribe en forma estándar: y = −3x² + 7x + 10 |
| a = −3, b = 7, c = 10 | Read the coefficients directly off standard formLee los coeficientes directamente de la forma estándar |
| f(x) = 2x² − 3x + 1, find f(−2)f(x) = 2x² − 3x + 1, halla f(−2) | Substitute −2 for every xSustituye −2 en cada x |
| f(−2) = 2(−2)² − 3(−2) + 1 = 2(4) + 6 + 1 | Square first (order of operations), then multiply, then addPrimero eleva al cuadrado (orden de las operaciones), luego multiplica y luego suma |
| f(−2) = 15 → point (−2, 15) | The input/output pair is always a point on the graphEl par entrada/salida siempre es un punto de la gráfica |
| x: −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 | y: 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9 — symmetric about x = 0y: 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9 — simétrica respecto a x = 0 |
| Range: y ≥ 0 | No output is ever negative — the graph never dips below the x-axisNinguna salida es negativa — la gráfica nunca baja del eje x |
A quadratic's squared term makes its graph a parabola — a symmetric U. The sign of a (the x² coefficient) sets the direction: positive opens up (has a minimum), negative opens down (has a maximum). The turning point is the vertex, and the fold line through it is the axis of symmetry.El término al cuadrado de una cuadrática hace que su gráfica sea una parábola — una U simétrica. El signo de a (el coeficiente de x²) fija la dirección: positivo abre hacia arriba (tiene un mínimo), negativo abre hacia abajo (tiene un máximo). El punto donde da la vuelta es el vértice, y la línea de pliegue que lo atraviesa es el eje de simetría.
| For y = x² − 4: direction and vertex?Para y = x² − 4: ¿dirección y vértice? | Opens up (a = 1 > 0); vertex (0, −4), the minimum.Abre hacia arriba (a = 1 > 0); vértice (0, −4), el mínimo. |
| Why is the graph symmetric?¿Por qué la gráfica es simétrica? | x and −x square to the same value, so equal inputs left and right of center give equal heights.x y −x elevados al cuadrado dan el mismo valor, así que entradas iguales a la izquierda y derecha del centro dan alturas iguales. |
For f(x) = x², find f(−3) and f(3). What do you notice?Para f(x) = x², halla f(−3) y f(3). ¿Qué observas?
In y = ax² + bx + c, the sign of a alone decides the shape: a > 0 opens upward (a minimum / U-shape), a < 0 opens downward (a maximum / ∩-shape). b and c never affect the direction.En y = ax² + bx + c, solo el signo de a decide la forma: a > 0 abre hacia arriba (un mínimo / forma de U), a < 0 abre hacia abajo (un máximo / forma de ∩). b y c nunca afectan la dirección.
| y = 3x² + 6x − 4 | a = 3 > 0 → opens upward, has a minimuma = 3 > 0 → abre hacia arriba, tiene un mínimo |
| y = −2x² − 8x − 4 | a = −2 < 0 → opens downward, has a maximuma = −2 < 0 → abre hacia abajo, tiene un máximo |
| y = 4x² vs. y = 2x² vs. y = 3x²y = 4x² vs. y = 2x² vs. y = 3x² | All open upward (a > 0); y = 4x² is narrowest, y = 2x² is widestTodas abren hacia arriba (a > 0); y = 4x² es la más angosta, y = 2x² la más ancha |
Symmetry is a shortcut: points come in mirror pairs across the axis of symmetry. If you know the vertex and one point, you get a matching point for free. Also, the vertex's x-value always sits exactly halfway between the two roots (when roots exist).La simetría es un atajo: los puntos vienen en pares espejo a través del eje de simetría. Si conoces el vértice y un punto, obtienes gratis un punto gemelo. Además, la coordenada x del vértice siempre está exactamente a mitad de camino entre las dos raíces (cuando existen).
| Vertex at x = 3, and (5, 8) is on the parabola. Find the mirror point.Vértice en x = 3, y (5, 8) está en la parábola. Halla el punto espejo. | 5 is 2 right of the axis, so 2 left: (1, 8).5 está 2 a la derecha del eje, así que 2 a la izquierda: (1, 8). |
| Roots at x = −1 and x = 7. Where's the axis of symmetry?Raíces en x = −1 y x = 7. ¿Dónde está el eje de simetría? | Halfway: x = (−1 + 7)/2 = 3.A mitad de camino: x = (−1 + 7)/2 = 3. |
State the turning point of y = 2x² and of y = −3x².Indica el punto de giro de y = 2x² y de y = −3x².
y = a(x − h)² + k is called vertex form. Its turning point (vertex) is always the point (h, k) — no work required, just read it off the equation.y = a(x − h)² + k se llama forma de vértice. Su punto de giro (vértice) siempre es el punto (h, k) — no requiere trabajo, solo léelo de la ecuación.
| g(x) = (x − 2)² − 4 | h = 2, k = −4 → turning point (2, −4)h = 2, k = −4 → punto de giro (2, −4) |
| y = (x + 3)² | Turning point (−3, 0) — shifted 3 units LEFTPunto de giro (−3, 0) — desplazada 3 unidades a la IZQUIERDA |
| y = (x − 1)² | Turning point (1, 0) — shifted 1 unit RIGHTPunto de giro (1, 0) — desplazada 1 unidad a la DERECHA |
| y = 5(x + 1)² − 4 | Turning point (−1, −4) — the value of a never affects the turning point's locationPunto de giro (−1, −4) — el valor de a nunca afecta la ubicación del punto de giro |
Every y = ax² has its turning point at (0, 0), no matter what a is. Vertex form just shifts that (0, 0) point to (h, k) — a only controls the shape (opens up/down, wide/narrow), never the location.Toda y = ax² tiene su punto de giro en (0, 0), sin importar el valor de a. La forma de vértice solo desplaza ese punto (0, 0) a (h, k) — a solo controla la forma (abre arriba/abajo, ancha/angosta), nunca la ubicación.
Vertex form y = (x − h)² + k puts the vertex on a name tag: (h, k). Watch the sign trap — (x − 2) means h = 2 (right 2), while (x + 2) means h = −2 (left 2). The k moves it up or down exactly as written.La forma de vértice y = (x − h)² + k pone el vértice en una etiqueta con nombre: (h, k). Cuidado con la trampa del signo — (x − 2) significa h = 2 (derecha 2), mientras que (x + 2) significa h = −2 (izquierda 2). La k lo mueve arriba o abajo tal como está escrita.
| Vertex of y = (x + 5)² − 1?¿Vértice de y = (x + 5)² − 1? | (−5, −1). The '+5' inside means h = −5.(−5, −1). El «+5» de adentro significa h = −5. |
| Write a parabola with vertex (4, 7) opening down.Escribe una parábola con vértice (4, 7) que abra hacia abajo. | y = −(x − 4)² + 7. Negative out front flips it.y = −(x − 4)² + 7. El negativo al frente la voltea. |
Expand (x + 5)² fully.Expande (x + 5)² por completo.
(x + n)² always expands to x² + 2nx + n². The middle term is always double the constant, and the last term is always the constant squared.(x + n)² siempre se expande a x² + 2nx + n². El término del medio siempre es el doble de la constante, y el último término siempre es la constante al cuadrado.
| (x − 8)² | = x² − 8x − 8x + 64 = x² − 16x + 64 |
| (x + 3/2)² | = x² + 3x + 9/4 — fractions follow the exact same pattern= x² + 3x + 9/4 — las fracciones siguen exactamente el mismo patrón |
| x² + 10x + 25 | b = 10 → (b/2)² = 5² = 25 = c ✓ perfect squareb = 10 → (b/2)² = 5² = 25 = c ✓ cuadrado perfecto |
| x² − 10x + 25 | √x² = x, √25 = 5, and 2(x)(5) = 10x matches → (x − 5)²√x² = x, √25 = 5, y 2(x)(5) = 10x coincide → (x − 5)² |
| x² − x + 1/4 | (x − 1/2)² — same pattern, just with a fraction(x − 1/2)² — el mismo patrón, solo que con una fracción |
A perfect square trinomial is what (x + n)² expands to: x² + 2nx + n². Fingerprint: the constant is the square of half the middle coefficient. Recognizing this pattern is the whole engine behind completing the square.Un trinomio cuadrado perfecto es lo que (x + n)² expande: x² + 2nx + n². Huella digital: la constante es el cuadrado de la mitad del coeficiente del medio. Reconocer este patrón es todo el motor detrás de completar el cuadrado.
| Is x² + 12x + 36 a perfect square?¿Es x² + 12x + 36 un cuadrado perfecto? | Half of 12 is 6; 6² = 36 ✓ → (x + 6)².La mitad de 12 es 6; 6² = 36 ✓ → (x + 6)². |
| What c makes x² − 10x + c a perfect square?¿Qué c hace que x² − 10x + c sea un cuadrado perfecto? | Half of −10 is −5; c = 25 → (x − 5)².La mitad de −10 es −5; c = 25 → (x − 5)². |
Given y = (x − 3)² + 2, state the turning point and the range.Dada y = (x − 3)² + 2, indica el punto de giro y el rango.
Turning points are easy to read from vertex form but hidden in standard form. Completing the square is the algorithm that converts y = x² + bx + c into y = (x − h)² + k, revealing the turning point.Los puntos de giro son fáciles de leer en la forma de vértice pero están ocultos en la forma estándar. Completar el cuadrado es el algoritmo que convierte y = x² + bx + c en y = (x − h)² + k, revelando el punto de giro.
| y = x² − 4x − 1 | b = −4 → (b/2)² = (−2)² = 4 |
| y = x² − 4x + 4 − 4 − 1 | Added 4 and immediately subtracted 4 — value unchangedSe sumó 4 y de inmediato se restó 4 — el valor no cambió |
| y = (x − 2)² − 5 | First three terms are now a perfect square; turning point (2, −5)Los primeros tres términos ahora son un cuadrado perfecto; punto de giro (2, −5) |
| y = x² + 5x + 4 | (5/2)² = 25/4 → y = (x + 5/2)² + 4 − 25/4 |
| y = (x + 5/2)² − 9/4 | Turning point (−5/2, −9/4)Punto de giro (−5/2, −9/4) |
| Cable height: y = x² − 16x + 67Altura del cable: y = x² − 16x + 67 | Vertex form: y = (x − 8)² + 3 → lowest point (8, 3)Forma de vértice: y = (x − 8)² + 3 → punto más bajo (8, 3) |
Completing the square manufactures a perfect square on purpose: take half the x-coefficient, square it, add it to both sides (balance!). The left side collapses to (x + half)², and then square-rooting both sides — with a ± — finishes it.Completar el cuadrado fabrica un cuadrado perfecto a propósito: toma la mitad del coeficiente de x, elévala al cuadrado, súmala a ambos lados (¡equilibrio!). El lado izquierdo colapsa a (x + mitad)², y luego sacar raíz cuadrada de ambos lados — con un ± — lo termina.
| Solve: x² + 6x − 16 = 0Resuelve: x² + 6x − 16 = 0 | x² + 6x = 16 → add 9: (x + 3)² = 25 → x + 3 = ±5 → x = 2, −8.x² + 6x = 16 → suma 9: (x + 3)² = 25 → x + 3 = ±5 → x = 2, −8. |
| Why add to both sides?¿Por qué sumar a ambos lados? | An equation is a balanced scale — adding 9 to only one side changes the problem, not just its form.Una ecuación es una balanza equilibrada — sumar 9 a un solo lado cambia el problema, no solo su forma. |
Complete the square: y = x² + 8x − 1. State the turning point.Completa el cuadrado: y = x² + 8x − 1. Indica el punto de giro.
Completing the square on y = ax² + bx + c always lands on the same x-coordinate for the vertex: x = −b/(2a). Memorizing this formula skips the completing-the-square work when all you need is the axis of symmetry or turning point.Completar el cuadrado en y = ax² + bx + c siempre llega a la misma coordenada x del vértice: x = −b/(2a). Memorizar esta fórmula te ahorra el trabajo de completar el cuadrado cuando solo necesitas el eje de simetría o el punto de giro.
| f(x) = 2x² + 8x − 1 | a = 2, b = 8 |
| x = −8 / 2(2) = −8/4 = −2 | Axis of symmetry: x = −2Eje de simetría: x = −2 |
| y = x² − 6x + 10 | a = 1, b = −6 → x = −(−6)/2(1) = 3 |
| y = (3)² − 6(3) + 10 = 1 | Substitute x = 3 back into the original equation → vertex (3, 1)Sustituye x = 3 en la ecuación original → vértice (3, 1) |
| R(x) = −0.5x² + 110x − 36 (revenue) | a = −0.5, b = 110 → x = −110/2(−0.5) = 110 |
| R(110) = −0.5(110)² + 110(110) − 36 = 6014 | 110 units gives the maximum revenue of $6,014110 unidades dan el ingreso máximo de $6,014 |
x = −b/(2a) drops you at the axis of symmetry instantly — no graphing needed. It's where the vertex lives, so plug that x back into the function to get the vertex's y-value: maximum or minimum found in two steps.x = −b/(2a) te deja en el eje de simetría al instante — sin graficar. Es donde vive el vértice, así que sustituye esa x de regreso en la función para obtener el valor de y del vértice: máximo o mínimo hallado en dos pasos.
| Vertex of y = 2x² − 8x + 3?¿Vértice de y = 2x² − 8x + 3? | x = 8/4 = 2, y = 2(4) − 16 + 3 = −5 → vertex (2, −5).x = 8/4 = 2, y = 2(4) − 16 + 3 = −5 → vértice (2, −5). |
| Minimum value of y = x² + 4x + 9?¿Valor mínimo de y = x² + 4x + 9? | x = −2; y = 4 − 8 + 9 = 5. Minimum value is 5 (the y, not the point).x = −2; y = 4 − 8 + 9 = 5. El valor mínimo es 5 (la y, no el punto). |
State the turning point of y = x², y = 5x², and y = −3x².Indica el punto de giro de y = x², y = 5x² y y = −3x².
Multiplying x² by a multiplies every output (y-value) by a. This "stretches" the parabola, making it look thinner for larger |a| and wider for |a| between 0 and 1 — the same stretching idea as the base of an exponential function.Multiplicar x² por a multiplica cada salida (valor de y) por a. Esto «estira» la parábola, haciéndola ver más delgada para |a| grande y más ancha para |a| entre 0 y 1 — la misma idea de estiramiento que la base de una función exponencial.
| y = x², y = 2x², y = 4x² | All open upward through (0,0); y = 4x² is narrowest, y = x² is widest of the threeTodas abren hacia arriba pasando por (0,0); y = 4x² es la más angosta, y = x² la más ancha de las tres |
| Turning point (3, 9), passes through (5, 29)Punto de giro (3, 9), pasa por (5, 29) | y = a(x − 3)² + 9 |
| 29 = a(5 − 3)² + 9 = 4a + 9 | 20 = 4a → a = 5 |
| Final equation: y = 5(x − 3)² + 9Ecuación final: y = 5(x − 3)² + 9 | Check on a calculator table: f1(5) should equal 29Verifica en una tabla de la calculadora: f1(5) debe ser igual a 29 |
The a out front stretches or squishes: |a| > 1 makes a skinny parabola (heights grow faster), |a| < 1 makes a wide one. With a leading coefficient, completing the square needs one extra move: factor a out of the x-terms first, complete inside, then multiply back through.La a de adelante estira o aplasta: |a| > 1 hace una parábola flaca (las alturas crecen más rápido), |a| < 1 hace una ancha. Con coeficiente principal, completar el cuadrado necesita un movimiento extra: factoriza a solo de los términos con x, completa adentro, y luego multiplica de regreso.
| Convert y = 3x² + 12x + 7 to vertex form.Convierte y = 3x² + 12x + 7 a forma de vértice. | 3(x² + 4x) + 7 = 3[(x+2)² − 4] + 7 = 3(x+2)² − 5.3(x² + 4x) + 7 = 3[(x+2)² − 4] + 7 = 3(x+2)² − 5. |
| Which is wider: y = ¼x² or y = 4x²?¿Cuál es más ancha: y = ¼x² o y = 4x²? | y = ¼x² — smaller |a| means slower climb, wider bowl.y = ¼x² — un |a| más pequeño significa subida más lenta, tazón más ancho. |
Evaluate y = x² − 2x − 3 at x = 3.Evalúa y = x² − 2x − 3 en x = 3.
The zeroes (or roots) of a function are the x-values where the output y equals zero — exactly the x-intercepts on the graph. For a quadratic, factoring the expression connects directly to its zeroes.Los ceros (o raíces) de una función son los valores de x donde la salida y es igual a cero — exactamente los interceptos en x de la gráfica. En una cuadrática, factorizar la expresión conecta directamente con sus ceros.
| y = x² − 2x − 3 = (x + 1)(x − 3) | The factors (x + 1) and (x − 3) directly give the zeroes x = −1 and x = 3Los factores (x + 1) y (x − 3) dan directamente los ceros x = −1 y x = 3 |
If two or more quantities multiply to zero, at least one of them must itself be zero: if a · b = 0, then a = 0 or b = 0 (or both). This is the tool that unlocks solving any factorable higher-degree equation.Si dos o más cantidades se multiplican y dan cero, al menos una de ellas debe ser cero: si a · b = 0, entonces a = 0 o b = 0 (o ambas). Esta es la herramienta que permite resolver cualquier ecuación factorizable de grado superior.
| (x + 7)(x − 2) = 0 | x + 7 = 0 or x − 2 = 0 → x = −7 or x = 2x + 7 = 0 o x − 2 = 0 → x = −7 o x = 2 |
| (2x − 1)(3x + 4) = 0 | 2x − 1 = 0 or 3x + 4 = 0 → x = 1/2 or x = −4/32x − 1 = 0 o 3x + 4 = 0 → x = 1/2 o x = −4/3 |
| 3x² − 6x − 24 = 0 | 3(x² − 2x − 8) = 0 → 3(x − 4)(x + 2) = 0 |
| x = 4 or x = −2 | Same zeroes whether or not the 3 is thereLos mismos ceros con o sin el 3 |
The Zero Product Law: if two things multiply to zero, at least one is zero — there's no other way to get zero from multiplication. That's why we factor: it turns one hard equation into two easy ones. It only works when the product equals zero, so move everything to one side first.La ley del producto cero: si dos cosas se multiplican y dan cero, al menos una es cero — no hay otra manera de obtener cero de una multiplicación. Por eso factorizamos: convierte una ecuación difícil en dos fáciles. Solo funciona cuando el producto es igual a cero, así que primero mueve todo a un lado.
| Solve: x² = 5xResuelve: x² = 5x | x² − 5x = 0 → x(x − 5) = 0 → x = 0, 5. Don't divide by x — that throws away the x = 0 answer.x² − 5x = 0 → x(x − 5) = 0 → x = 0, 5. No dividas entre x — eso descarta la respuesta x = 0. |
| Solve: (x + 2)(x − 6) = 9Resuelve: (x + 2)(x − 6) = 9 | Trap! Not zero on the right. Expand: x² − 4x − 21 = 0 → (x−7)(x+3) = 0 → x = 7, −3.¡Trampa! El lado derecho no es cero. Expande: x² − 4x − 21 = 0 → (x−7)(x+3) = 0 → x = 7, −3. |
Factor: x² + 7x + 12.Factoriza: x² + 7x + 12.
If two factors multiply to zero, at least one of them must itself be zero. This lets us split any factored equation into simple one-step equations.Si dos factores se multiplican y dan cero, al menos uno de ellos debe ser cero. Esto nos permite dividir cualquier ecuación factorizada en ecuaciones simples de un paso.
| (x + 4)(x + 3) = 0 | Set each factor equal to zero separatelyIguala cada factor a cero por separado |
| x + 4 = 0 or x + 3 = 0 | x = −4 or x = −3 |
| x² − 9 = 0 | Factor as a difference of squares: (x + 3)(x − 3) = 0Factoriza como diferencia de cuadrados: (x + 3)(x − 3) = 0 |
| x = −3 and x = 3x = −3 y x = 3 | The zeros are also the x-intercepts of the graphLos ceros también son los interceptos en x de la gráfica |
| x² + 6x + 9 = 0 | Perfect square: (x + 3)(x + 3) = 0 → x = −3 is the ONLY zeroCuadrado perfecto: (x + 3)(x + 3) = 0 → x = −3 es el ÚNICO cero |
| y = h(x) has zeros at x = −5 and x = 3y = h(x) tiene ceros en x = −5 y x = 3 | Which could be its equation? y = (x − 5)(x + 3) is wrong — check the sign of each zero carefully against the factor¿Cuál podría ser su ecuación? y = (x − 5)(x + 3) es incorrecta — verifica con cuidado el signo de cada cero contra el factor |
Zeros, roots, x-intercepts, solutions — four names for the same numbers: the inputs where the function's output is 0. Finding them by factoring: set equal to zero, factor completely, apply the zero product law to every factor.Ceros, raíces, interceptos en x, soluciones — cuatro nombres para los mismos números: las entradas donde la salida de la función es 0. Para hallarlos factorizando: iguala a cero, factoriza por completo, y aplica la ley del producto cero a cada factor.
| Zeros of f(x) = x² − 8x + 12?¿Ceros de f(x) = x² − 8x + 12? | (x − 2)(x − 6) = 0 → x = 2, 6. The graph crosses the x-axis there.(x − 2)(x − 6) = 0 → x = 2, 6. La gráfica cruza el eje x ahí. |
| Zeros of f(x) = 4x² − 9?¿Ceros de f(x) = 4x² − 9? | Conjugates: (2x − 3)(2x + 3) → x = ±3/2.Conjugados: (2x − 3)(2x + 3) → x = ±3/2. |
Solve: (x + 6)(x − 8) = 0Resuelve: (x + 6)(x − 8) = 0
The Zero Product Law only works when (1) the equation is set equal to zero, and (2) the nonzero side can be factored. Always check both before applying it.La ley del producto cero solo funciona cuando (1) la ecuación está igualada a cero, y (2) el lado no nulo puede factorizarse. Verifica ambas antes de aplicarla.
| x² + 2x − 35 = 0 | (x + 7)(x − 5) = 0 → x = −7 or x = 5 |
| 3x² − 30x + 48 = 0 | 3(x² − 10x + 16) = 0 → 3(x − 2)(x − 8) = 0 → x = 2 or x = 8 |
| (x − 3)(x + 1) + (x − 3)(2x − 7) = 0 | Factor out the shared (x − 3): (x − 3)[(x+1)+(2x−7)] = 0Factoriza el (x − 3) compartido: (x − 3)[(x+1)+(2x−7)] = 0 |
| (x − 3)(3x − 6) = 0 | x = 3 or x = 2 |
| y = 3x² + x − 10 has a known zero at x = −2y = 3x² + x − 10 tiene un cero conocido en x = −2 | If x = −2 is a zero, (x + 2) must be a factorSi x = −2 es un cero, (x + 2) debe ser un factor |
| (x + 2)(3x − 5) = 0 | Solve 3x − 5 = 0 → x = 5/3 is the other zeroResuelve 3x − 5 = 0 → x = 5/3 es el otro cero |
| f(x) = x³ − 9x | Factor out the GCF x first: x(x² − 9) = 0Primero factoriza el MCD x: x(x² − 9) = 0 |
| x(x − 3)(x + 3) = 0 | Three zeroes: x = −3, 0, 3Tres ceros: x = −3, 0, 3 |
For any quadratic, the x-coordinate of the turning point is always the AVERAGE of its two zeroes — because the parabola is symmetric about its axis of symmetry, which passes right through the midpoint of the zeroes.En cualquier cuadrática, la coordenada x del punto de giro siempre es el PROMEDIO de sus dos ceros — porque la parábola es simétrica respecto a su eje de simetría, que pasa justo por el punto medio de los ceros.
| y = x² − 8x + 15 has zeroes x = 3, 5y = x² − 8x + 15 tiene ceros x = 3, 5 | Turning point x-coordinate: (3+5)/2 = 4 → y(4) = −1, vertex (4, −1)Coordenada x del punto de giro: (3+5)/2 = 4 → y(4) = −1, vértice (4, −1) |
Higher-degree equations bow to the same law: factor out the GCF first (often an x), then keep factoring what remains. Every factor donates one root. A cubic can have up to three real roots — expect the x you factored out to contribute x = 0.Las ecuaciones de grado superior obedecen la misma ley: primero factoriza el MCD (a menudo una x), y luego sigue factorizando lo que queda. Cada factor aporta una raíz. Una cúbica puede tener hasta tres raíces reales — espera que la x que factorizaste aporte x = 0.
| Solve: x³ − 4x² − 5x = 0Resuelve: x³ − 4x² − 5x = 0 | x(x² − 4x − 5) = x(x − 5)(x + 1) = 0 → x = 0, 5, −1.x(x² − 4x − 5) = x(x − 5)(x + 1) = 0 → x = 0, 5, −1. |
| Solve: 3x³ = 27xResuelve: 3x³ = 27x | 3x³ − 27x = 0 → 3x(x − 3)(x + 3) = 0 → x = 0, ±3.3x³ − 27x = 0 → 3x(x − 3)(x + 3) = 0 → x = 0, ±3. |
Solve: x² − 9x + 14 = 0Resuelve: x² − 9x + 14 = 0
A line and a parabola can share y-values at the same time. Set the quadratic expression equal to the linear expression, move everything to one side, and solve like any quadratic.Una recta y una parábola pueden compartir valores de y al mismo tiempo. Iguala la expresión cuadrática con la lineal, mueve todo a un lado, y resuelve como cualquier cuadrática.
| y = x² − 3x − 17 and y = 5x + 3y = x² − 3x − 17 y y = 5x + 3 | Set equal: x² − 3x − 17 = 5x + 3Iguala: x² − 3x − 17 = 5x + 3 |
| x² − 8x − 20 = 0 → (x − 10)(x + 2) = 0 | x = 10 or x = −2 |
| y = 5(10) + 3 = 53; y = 5(−2) + 3 = −7 | Always substitute back into the LINEAR equation — it's easier arithmeticSiempre sustituye de regreso en la ecuación LINEAL — la aritmética es más fácil |
| x² − 4x + 5 = 2x − 4 | x² − 6x + 9 = 0 → (x − 3)² = 0 → x = 3 onlyx² − 6x + 9 = 0 → (x − 3)² = 0 → x = 3 solamente |
| Line and parabola meet at exactly (3, 2)La recta y la parábola se encuentran exactamente en (3, 2) | One solution = tangentUna solución = tangente |
A line and a parabola can intersect in exactly three ways: not at all (zero real solutions), tangent (one solution), or crossing through twice (two solutions). The number of solutions to the resulting quadratic equation tells you which case you're in.Una recta y una parábola pueden intersecarse exactamente de tres maneras: no cruzarse (cero soluciones reales), ser tangente (una solución), o cruzarse dos veces (dos soluciones). El número de soluciones de la ecuación cuadrática resultante te dice en qué caso estás.
A linear-quadratic system finds where a line meets a parabola: set the two expressions for y equal, move everything to one side, solve the quadratic. Two solutions = crosses twice; one = tangent touch; none = they miss. Report full (x, y) points — plug each x back into the line (easier).Un sistema lineal-cuadrático halla dónde una recta se encuentra con una parábola: iguala las dos expresiones de y, mueve todo a un lado, resuelve la cuadrática. Dos soluciones = se cruzan dos veces; una = toque tangente; ninguna = no se tocan. Reporta puntos (x, y) completos — sustituye cada x de regreso en la recta (más fácil).
| Solve: y = x² and y = 2x + 3Resuelve: y = x² y y = 2x + 3 | x² = 2x + 3 → (x−3)(x+1) = 0 → points (3, 9) and (−1, 1).x² = 2x + 3 → (x−3)(x+1) = 0 → puntos (3, 9) y (−1, 1). |
| Solve: y = x² + 1 and y = 2xResuelve: y = x² + 1 y y = 2x | x² − 2x + 1 = 0 → (x−1)² = 0 → one touch at (1, 2): the line is tangent.x² − 2x + 1 = 0 → (x−1)² = 0 → un solo toque en (1, 2): la recta es tangente. |
Solve by factoring: x² − 4 = 0.Resuelve factorizando: x² − 4 = 0.
| Length is one less than twice the width; area = 45El largo es uno menos que el doble del ancho; área = 45 | W(2W − 1) = 45 → 2W² − W − 45 = 0 |
| (2W + 9)(W − 5) = 0 → W = −4.5 or W = 5 | Reject the negative width → W = 5 ft, L = 9 ftDescarta el ancho negativo → A = 5 pies, L = 9 pies |
| A square's sides change by +2 and −2, new area = 60. Original area?Los lados de un cuadrado cambian en +2 y −2, nueva área = 60. ¿Área original? | (x − 2)(x + 2) = 60 → x² − 4 = 60 → x² = 64 → x = 8 |
| Original square area = 8 × 8 = 64 in²Área original del cuadrado = 8 × 8 = 64 pulg² | The question asks for the ORIGINAL area, not x — read the question carefullyLa pregunta pide el área ORIGINAL, no x — lee la pregunta con cuidado |
| (3n − 7)(n + 1) = 10n − 2 | Expand and collect: 3n² − 14n − 5 = 0 → (3n + 1)(n − 5) = 0Expande y agrupa: 3n² − 14n − 5 = 0 → (3n + 1)(n − 5) = 0 |
| n = −1/3 or n = 5 | Both are valid rational numbers — no domain restriction hereAmbos son números racionales válidos — aquí no hay restricción de dominio |
| Two consecutive integers whose product is 8 less than 10× the smallerDos enteros consecutivos cuyo producto es 8 menos que 10× el menor | n(n + 1) = 10n − 8 → n² − 9n + 8 = 0 → (n − 1)(n − 8) = 0 |
| Two valid answer sets: {1, 2} and {8, 9}Dos conjuntos de respuesta válidos: {1, 2} y {8, 9} | Unlike rectangle problems, BOTH solutions can be valid — always check whether the problem restricts to oneA diferencia de los problemas de rectángulos, AMBAS soluciones pueden ser válidas — siempre verifica si el problema restringe a una |
| h = n(n − 1)/2, given 66 handshakes, find nh = n(n − 1)/2, dados 66 apretones de manos, halla n | n(n − 1) = 132 → n² − n − 132 = 0 → (n − 12)(n + 11) = 0 |
| n = 12 (reject n = −11)n = 12 (descarta n = −11) | Can't have a negative number of people in the roomNo puede haber un número negativo de personas en el salón |
Word problems: draw it, label the unknown, build the equation from the geometry or story, and factor. Quadratics usually hand you two answers — sense-check them against reality and discard the impossible one (negative lengths, negative counts).Problemas verbales: dibújalo, etiqueta la incógnita, construye la ecuación a partir de la geometría o la historia, y factoriza. Las cuadráticas normalmente te dan dos respuestas — compáralas con la realidad y descarta la imposible (longitudes negativas, cantidades negativas).
| A garden's length is 4 more than its width; area 96 m².El largo de un jardín es 4 más que su ancho; área 96 m². | w(w + 4) = 96 → w² + 4w − 96 = 0 → (w + 12)(w − 8) = 0 → w = 8 (reject −12). 8 m by 12 m.w(w + 4) = 96 → w² + 4w − 96 = 0 → (w + 12)(w − 8) = 0 → w = 8 (descarta −12). 8 m por 12 m. |
| A number plus its square is 42.Un número más su cuadrado es 42. | n² + n − 42 = 0 → (n + 7)(n − 6) = 0 → n = 6 or n = −7 (both valid unless the story says positive).n² + n − 42 = 0 → (n + 7)(n − 6) = 0 → n = 6 o n = −7 (ambos válidos a menos que la historia diga positivo). |
A rectangle's length is 4 more than its width. Write an expression for its area in terms of width w.El largo de un rectángulo es 4 más que su ancho. Escribe una expresión para su área en términos del ancho w.
| Length is 3 more than twice the width; area = 90El largo es 3 más que el doble del ancho; área = 90 | w(2w + 3) = 90 → 2w² + 3w − 90 = 0 |
| (2w + 15)(w − 6) = 0 → w = −15/2 or w = 6 | Reject the negative width → width = 6 ft, length = 15 ftDescarta el ancho negativo → ancho = 6 pies, largo = 15 pies |
| Three consecutive odd integers: product of smaller two is 3 more than 4× the sum of the larger twoTres enteros impares consecutivos: el producto de los dos menores es 3 más que 4× la suma de los dos mayores | Let n, n+2, n+4 be the integersSean n, n+2, n+4 los enteros |
| n(n + 2) = 4(n + 2 + n + 4) + 3 | n² − 6n − 27 = 0 → (n − 9)(n + 3) = 0 |
| n = 9 (reject n = −3, not positive)n = 9 (descarta n = −3, no es positivo) | Integers are 9, 11, and 13Los enteros son 9, 11 y 13 |
| Ticket price p = 64 − 4n; revenue = n·p; total revenue = $240Precio del boleto p = 64 − 4n; ingreso = n·p; ingreso total = $240 | n(64 − 4n) = 240 → −4n² + 64n − 240 = 0 |
| n² − 16n + 60 = 0 → (n − 6)(n − 10) = 0 | n = 6 or n = 10 — but the discount only applies up to 8 people, so only n = 6 is validn = 6 o n = 10 — pero el descuento solo aplica hasta 8 personas, así que solo n = 6 es válido |
More practice with the same playbook: define the variable, translate, solve, sense-check. Consecutive-integer problems: call them n and n + 1 (or n + 2 for evens/odds). Projectile problems: height zero means it hit the ground.Más práctica con el mismo plan de juego: define la variable, traduce, resuelve, verifica con sentido común. Problemas de enteros consecutivos: llámalos n y n + 1 (o n + 2 para pares/impares). Problemas de proyectiles: altura cero significa que tocó el suelo.
| Two consecutive even integers multiply to 168.Dos enteros pares consecutivos multiplican a 168. | n(n + 2) = 168 → n² + 2n − 168 = 0 → (n + 14)(n − 12) = 0 → 12 and 14 (or −14 and −12).n(n + 2) = 168 → n² + 2n − 168 = 0 → (n + 14)(n − 12) = 0 → 12 y 14 (o −14 y −12). |
| h(t) = −16t² + 48t. When does it land?h(t) = −16t² + 48t. ¿Cuándo aterriza? | −16t(t − 3) = 0 → t = 3 seconds (t = 0 is launch).−16t(t − 3) = 0 → t = 3 segundos (t = 0 es el lanzamiento). |
Solve using the zero product law: (x + 2)(x − 5) = 0Resuelve usando la ley del producto cero: (x + 2)(x − 5) = 0
A cubic (highest power 3) can have up to three linear factors; a quartic (highest power 4) up to four. The zero product law applies exactly the same way, no matter how many factors there are.Una cúbica (potencia máxima 3) puede tener hasta tres factores lineales; una cuártica (potencia máxima 4) hasta cuatro. La ley del producto cero aplica exactamente igual, sin importar cuántos factores haya.
| y = (x + 5)(x − 2)(x − 6) | Zeros: x = −5, x = 2, x = 6 — these are the x-interceptsCeros: x = −5, x = 2, x = 6 — estos son los interceptos en x |
| Zeros at −7, −2, 5; passes through (−6, 220)Ceros en −7, −2, 5; pasa por (−6, 220) | 220 = a(−6+7)(−6+2)(−6−5) = a(1)(−4)(−11) = 44a |
| a = 220/44 = 5 | Final equation: y = 5(x + 7)(x + 2)(x − 5)Ecuación final: y = 5(x + 7)(x + 2)(x − 5) |
| y = 0.25(x + 8)(x + 2)(x − 6), find the y-intercepty = 0.25(x + 8)(x + 2)(x − 6), halla el intercepto en y | y = 0.25(0+8)(0+2)(0−6) = 0.25(8)(2)(−6) |
| y = −24 | Not −25, even if the graph looked close to thatNo es −25, aunque la gráfica pareciera acercarse a eso |
Factored form f(x) = a(x − r₁)(x − r₂) displays the zeros directly — each factor names one root with the sign flipped. Build a polynomial from zeros by reversing: each zero r becomes a factor (x − r). The a scales the graph without moving the roots.La forma factorizada f(x) = a(x − r₁)(x − r₂) muestra los ceros directamente — cada factor nombra una raíz con el signo volteado. Construye un polinomio a partir de sus ceros invirtiendo: cada cero r se convierte en un factor (x − r). La a escala la gráfica sin mover las raíces.
| Write a quadratic with zeros 2 and −5.Escribe una cuadrática con ceros 2 y −5. | f(x) = (x − 2)(x + 5) = x² + 3x − 10.f(x) = (x − 2)(x + 5) = x² + 3x − 10. |
| Zeros of f(x) = −2(x + 1)(x − 6)?¿Ceros de f(x) = −2(x + 1)(x − 6)? | x = −1 and 6. The −2 flips and stretches the parabola but the x-intercepts stay put.x = −1 y 6. El −2 voltea y estira la parábola pero los interceptos en x no se mueven. |
State the turning point of y = (x − 6)² − 2, and say whether it opens up or down.Indica el punto de giro de y = (x − 6)² − 2, y di si abre hacia arriba o hacia abajo.
| Table has matching y-values at x = 0 and x = 2La tabla tiene valores de y iguales en x = 0 y x = 2 | Turning point x-coordinate is the midpoint: x = 1La coordenada x del punto de giro es el punto medio: x = 1 |
| Minimum y-value in a table is 6El valor mínimo de y en una tabla es 6 | Range is y ≥ 6 — the smallest output IS the boundary of the rangeEl rango es y ≥ 6 — la salida más pequeña ES la frontera del rango |
| Which quadratic has a maximum value of 16?¿Qué cuadrática tiene un valor máximo de 16? | Needs a < 0 AND k = 16 in vertex form → y = −(x − h)² + 16Necesita a < 0 Y k = 16 en forma de vértice → y = −(x − h)² + 16 |
| g(x) = −3(x + 5)² + 10 | Turning point (−5, 10), opens down → range y ≤ 10Punto de giro (−5, 10), abre hacia abajo → rango y ≤ 10 |
Three ideas connect constantly on this review: the turning point's x-coordinate is the average of the two zeroes; zeroes are equidistant from the turning point in both directions; and factored form y = a(x − p)(x − q) has zeroes exactly at x = p and x = q.Tres ideas se conectan constantemente en este repaso: la coordenada x del punto de giro es el promedio de los dos ceros; los ceros están equidistantes del punto de giro en ambas direcciones; y la forma factorizada y = a(x − p)(x − q) tiene ceros exactamente en x = p y x = q.
| One zero at x = −5, turning point at (3, 10)Un cero en x = −5, punto de giro en (3, 10) | −5 is 8 units left of 3, so the other zero is 8 units right: x = 11−5 está 8 unidades a la izquierda de 3, así que el otro cero está 8 unidades a la derecha: x = 11 |
| Zeroes at x = 3 and x = 11Ceros en x = 3 y x = 11 | Turning point x = (3+11)/2 = 7Punto de giro x = (3+11)/2 = 7 |
| y = x² − 8x + 7 | (−8/2)² = 16 → y = (x² −8x+16) −16+7 = (x−4)² − 9 |
| y = 2x² + 24x + 79 | 2(x²+12x) + 79 → 2(x+6)² − 72 + 79 → y = 2(x+6)² + 7, vertex (−6, 7) |
| 2x² + 18x − 17 = 11x − 2 | 2x² + 7x − 15 = 0 → (2x − 3)(x + 5) = 0 → x = 3/2 or x = −5 |
| (x − 8)(4x + 3) − (x − 8)(x − 2) = 0 | Factor out (x − 8): (x − 8)(3x + 5) = 0 → x = 8 or x = −5/3Factoriza (x − 8): (x − 8)(3x + 5) = 0 → x = 8 o x = −5/3 |
| Length is 4× width minus 9; area = 90El largo es 4× el ancho menos 9; área = 90 | w(4w − 9) = 90 → (4w+15)(w−6) = 0 → w = 6 ft, l = 15 ftw(4w − 9) = 90 → (4w+15)(w−6) = 0 → a = 6 pies, l = 15 pies |
| Path of width x rings a 5×10 garden; path area = 54Un sendero de ancho x rodea un jardín de 5×10; área del sendero = 54 | (2x+5)(2x+10) − 50 = 54 → (2x−3)(2x+18) = 0 → x = 1.5 ft |
| Three consecutive integers: product of larger two is 12 less than 6× sum of younger twoTres enteros consecutivos: el producto de los dos mayores es 12 menos que 6× la suma de los dos menores | (n+1)(n+2) = 6(n+n+1) − 12 → n² − 9n + 8 = 0 → ages {1,2,3} or {8,9,10}(n+1)(n+2) = 6(n+n+1) − 12 → n² − 9n + 8 = 0 → edades {1,2,3} o {8,9,10} |
Review strategy: read the form of the question first. Vertex/max/min → vertex form or −b/2a. Zeros/roots/x-intercepts → factor or quadratic formula. Where two graphs meet → set equal. Matching the question type to the tool is most of the battle.Estrategia de repaso: lee primero la forma de la pregunta. ¿Vértice/máx/mín? → forma de vértice o −b/2a. ¿Ceros/raíces/interceptos en x? → factoriza o fórmula cuadrática. ¿Dónde se encuentran dos gráficas? → iguálalas. Emparejar el tipo de pregunta con la herramienta es la mayor parte de la batalla.
| Which tool: 'Find the maximum profit of P(x) = −2x² + 40x'?¿Qué herramienta: «Halla la ganancia máxima de P(x) = −2x² + 40x»? | Max → vertex: x = 40/4 = 10, P(10) = 200.Máx → vértice: x = 40/4 = 10, P(10) = 200. |
| Which tool: 'For what x does P(x) = 0?'¿Qué herramienta: «¿Para qué x es P(x) = 0?» | Roots → factor: −2x(x − 20) = 0 → x = 0 or 20.Raíces → factoriza: −2x(x − 20) = 0 → x = 0 o 20. |
By hand: find the axis of symmetry of y = x² − 6x + 10.A mano: halla el eje de simetría de y = x² − 6x + 10.
This is the calculator authorized for this course. Use these steps any time an answer key says "verify with your calculator" — the goal is always to confirm a by-hand answer, not to replace the algebra.Esta es la calculadora autorizada para este curso. Usa estos pasos cada vez que una clave de respuestas diga «verifica con tu calculadora» — la meta siempre es confirmar una respuesta hecha a mano, no reemplazar el álgebra.
Calculator zeros and vertex: the machine finds landmarks numerically, but you must give it bounds around the feature. If the tool returns nothing, the feature isn't inside your window or bounds. Best habit: solve by hand, verify by machine — when the two disagree, find out why before moving on.Ceros y vértice en la calculadora: la máquina halla los puntos clave numéricamente, pero tú debes darle límites alrededor de la característica. Si la herramienta no devuelve nada, la característica no está dentro de tu ventana o límites. El mejor hábito: resuelve a mano, verifica con la máquina — cuando las dos no coinciden, averigua por qué antes de continuar.
| Your algebra says roots at x = 2 and 6 but the calculator shows one crossing.Tu álgebra dice raíces en x = 2 y 6 pero la calculadora muestra un solo cruce. | Widen the window — the second root is off-screen. The window changes what you see, never what's true.Amplía la ventana — la segunda raíz está fuera de pantalla. La ventana cambia lo que ves, nunca lo que es cierto. |
| Using Analyze → ZeroUsando Analyze → Zero | Move the lower bound left of the crossing, upper bound right of it; the calculator refines the exact root between them.Mueve el límite inferior a la izquierda del cruce y el superior a la derecha; la calculadora afina la raíz exacta entre ellos. |
These problems pull from earlier units on purpose. Switching between skills feels harder in the moment, but it helps you remember longer and matches how a real exam mixes topics. Try each one on paper first, then reveal.Estos problemas provienen de unidades anteriores a propósito. Cambiar de una destreza a otra se siente más difícil en el momento, pero te ayuda a recordar por más tiempo y se parece a cómo un examen real mezcla los temas. Intenta cada uno en papel primero, luego revela la respuesta.